平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点M(1,-3)、N(5,1),若点C满足向量OC=t向量OM+(1-t)向量ON

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/18 03:45:12

平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点M(1,-3)、N(5,1),若点C满足向量OC=t向量OM+(1-t)向量ON,点C的轨迹与抛物线：y^2=4x交于A、B两点
(1)求证：向量OA⊥向量OB;(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)使得过P点的直线交抛物线于D、E两点,并以该弦DE为直径的圆都过原点.若存在,请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在,请说明理由

1.由题意可知：向量OC=t向量OM+(1-t)向量ON
C点的方程为x-y-4=0
与y^2=4x的交点相交可得x1x2=16 y1y2=-16
所以向量OA⊥向量OB
2.设直线方程为y=k(x-m) ①
与抛物线方程联立得：
k^2x^2-(2mk^2+4)+m^2k^2=0 ②
由弦DE为直径的圆都过原点可知OE⊥OD
所以x1x2+y1y2=0 ③
由①②③得：
m=4 X=(x1+x2)/2=(4k^2+2)/k^2 Y=(y1+y2)/2=-1/k
圆心方程为X=4+2Y^2