(2009•淮安模拟)如图,在三棱柱BCE-ADF中,四边形ABCD是正方形,DF⊥平面ABCD,M,N分别是AB,AC
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/21 09:25:33
(2009•淮安模拟)如图,在三棱柱BCE-ADF中,四边形ABCD是正方形,DF⊥平面ABCD,M,N分别是AB,AC的中点,G是DF上的一点.
(1)求证:GN⊥AC;
(2)若FG=GD,求证:GA∥平面FMC.
(1)求证:GN⊥AC;
(2)若FG=GD,求证:GA∥平面FMC.
证明:(1)如图,
连接DN,∵四边形ABCD是正方形,∴DN⊥AC
∵DF⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴DF⊥AC
又DN∩DF=D,∴AC⊥平面DNF
∵GN⊂平面DNF,∴GN⊥AC
(2)取DC中点S,连接AS,GS,GA
∵G是DF的中点,∴GS∥FC,AS∥CM
又GS,AS⊄平面FMC,FM,CM⊂平面FMC
∴GS∥平面FMC,AS∥平面FMC
而AS∩GS=S,∴平面GSA∥平面FMC
∵GA⊂平面GSA,∴GA∥平面FMC.
连接DN,∵四边形ABCD是正方形,∴DN⊥AC
∵DF⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴DF⊥AC
又DN∩DF=D,∴AC⊥平面DNF
∵GN⊂平面DNF,∴GN⊥AC
(2)取DC中点S,连接AS,GS,GA
∵G是DF的中点,∴GS∥FC,AS∥CM
又GS,AS⊄平面FMC,FM,CM⊂平面FMC
∴GS∥平面FMC,AS∥平面FMC
而AS∩GS=S,∴平面GSA∥平面FMC
∵GA⊂平面GSA,∴GA∥平面FMC.
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