已知函数f（x）=e|x|-1-ax．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 12:50:43

已知函数f（x）=e^|x|-1-ax．
（I）若f（x）是偶函数，求实数a的值；
（Ⅱ）设a>0，讨论函数y=f（x）的单调性．

（I）若f（x）是偶函数，则f（-1）=f（1）
可得e^|1|-1-a=e^|-1|-1+a，即1-a=1+a，所以a=0
检验：当a=0时，f（x）=e^|x|-1，得f（-x）=e^|-x|-1=e^|x|-1=f（x），符合题意
因此，实数a的值为0；
（II）①当x≥0时，f（x）=e^x-1-ax，可得
f'（x）=e^x-1-a，当x=lna+1时，f'（x）=0．
∴当0<a≤
1
e时，有f'（x）>0在（0，+∞）恒成立，可得f（x）在（0，+∞）上是增函数
当a>
1
e时，f'（x）>0在（lna+1，+∞）上成立，f'（x）<0在（0，lna+1）上成立
此时f（x）在（0，lna+1）上是减函数，（lna+1，+∞）上是增函数
②当x<0时，f（x）=e^-x-1-ax，可得
f'（x）=-e^-x-1-a，可得f'（x）<0在（-∞，0）上恒成立
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数
综上所述，当0<a≤
1
e时，f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；
当a>
1
e时，f（x）在（-∞，lna+1）上是减函数，在（lna+1，+∞）上是增函数．

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