（2013•威海二模）已知函数f（x）=ax+lnx，x∈[1，e]．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/14 13:08:29

（2013•威海二模）已知函数f（x）=ax+lnx，x∈[1，e]．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）若方程f（x）=-

（Ⅰ）若a=1，则f（x）=x+lnx，f′(x)＝1+
1
x=
x+1
x，
∵x∈[1，e]，∴f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上为增函数，
∴f（x）_max=f（e）=e+1；
（Ⅱ）要使x∈[1，e]，f（x）≤0恒成立，只需x∈[1，e]时，f（x）_max≤0，
显然当a≥0时，f（x）=ax+lnx在[1，e]上单增，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1＞0，不合题意；
当a＜0时，f′（x）=a+
1
x=
ax+1
x，令f′（x）=0，x＝−
1
a，
当x＜−
1
a时，f′（x）＞0，当x＞−
1
a时，f′（x）＜0，
①当−
1
a≤1时，即a≤-1时，f（x）在[1，e]上为减函数，
∴f（x）_max=f（1）=a＜0，∴a≤-1；
②当−
1
a≥e时，即−
1
e≤a＜0时，f（x）在[1，e]上为增函数，
∴f(x)max＝f(e)＝ae+1≤0，a≤−
1
e，∴a＝−
1
e；
③当1＜−
1
a＜e时，即−1＜a＜−
1
e时，f（x）在[1，−
1
a]上单增，f（x）在[−
1
a，e]上单减，
∴f(x)max＝f(−
1
a)＝−1+ln(−
1
a)，
∵1＜−
1
a＜e，∴0＜ln(−
1
a)＜1，∴f(−
1
a)＜0成立；
由①②③可得a≤−
1
e．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a≤-1或a≥-
1
e时，f（x）在[1，e]上单调，不满足题意；
当-1＜a＜-
1
e时，fmax(x)＝f(−
1
a)=-1+ln（-
1
a

（2013•威海二模）已知函数f（x）=ax+lnx，x∈[1，e]．（2013•和平区二模）已知函数f（x）=lnx+x2-ax．（2013•莱芜二模）已知函数f（x）=ax+lnx，g（x）=ex．（2014•商丘二模）已知函数f（x）=lnx-x-ax，a∈R．（2013•湖州二模）已知函数f（x）=2ax+1x+（2-a）lnx（a∈R）．（2010•沈阳二模）已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．（2014•市中区二模）已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．（2014•烟台二模）已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．（2012•枣庄二模）已知函数f(x)＝x−ax(a∈R)，g（x）=lnx．已知函数f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R）．已知函数f（x）=lnx-ax．已知函数f（x）=lnx+x2+ax．