一道高中数学竞赛题,难题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 15:39:29

一道高中数学竞赛题,难题
在△ABC中,满足A=2B,C为钝角,三边a,b,c均为整数,求周长最小值.
要详细过程

这题非常麻烦
由题意,cosC = -cos3B = 3cosB - 4cosBcosBcosB < 0
解得cosB > √3/2 .1
由a/b = sinA/sinB = 2cosB > 1,知b < a < c
设周长为S,S = b(1 + sinA/sinB + sinC/sinA) = b(1 + 2cosB + 3 - 4sinBsinB) = b(4cosBcosB + 2cosB),由1知S值域((3 + √3)b,6b)
由b/a = 2cosB = 有理数,依次枚举b和S的值(S为整数),看4cosBcosB + 2cosB = S/b是否有有理根:
b = 1,S = 5,没有有理根
b = 2,S = 10,没有有理根
b = 2,S = 11,没有有理根
b = 3,S = 15 ..
b = 3,S = 16,..
.(冗长的计算后)
b = 16,S = 77,此时cosB = 28/32,求得b = 28,c = S - a - b = 33,a^2 + b^2 < c^2,C是钝角符合题意
a = 28,b = 16,c = 33,周长取最小值77

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