已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 10:29:16

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）求f（x）的值域．

（1）由函数f（x）是偶函数，可知f（x）=f（-x）
∴log₄（4^x+1）+kx=log₄（4^-x+1）-kx
即log4
4x+1
4−x+1＝−2kx，log₄4^x=-2kx∴
x=-2kx对一切x∈R恒成立，∴k=-
1
2
（2）k＝−
1
2时，f(x)＝log4(4x+1)−
1
2x=log4
4x+1
2x＝log4(2x+
1
2x)
∵2x+
1
2x≥2∴log4(2x+
1
2x)≥
1
2，所以f（x）的值域为[
1
2，+∞)

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