作业帮关于函数绝对值可导性的两个证明
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/05 23:51:34
关于函数绝对值可导性的两个证明
有两个结论,可以分别证明吗?
有两个结论,可以分别证明吗?
要考虑f(x)的导数,首先要有f(x)是连续的.
1.若f(a)不等于0,则在a的一个邻域内f(x)也不为0,那么在这个邻域内|f(x)|=f(x)或-f(x),则|f(x)|当然在a点可导.
2.lim(|f(x)|-|f(a)|)/(x-a)=lim(|f(x)|-|f(a)|)/(f(x)-f(a))*(f(x)-f(a))/(x-a)=lim(|f(x)|-|f(a)|)/(f(x)-f(a))*f'(a)
由f(a)=0,得上式=lim|f(x)|/f(x)*f'(a)=正负f'(a),有极限唯一性知f'(a)=0.
再问： “若f(a)不等于0，则在a的一个邻域内f(x)也不为0” 为什么？
再答： 这不是连续函数的保号性吗
1.若f(a)不等于0,则在a的一个邻域内f(x)也不为0,那么在这个邻域内|f(x)|=f(x)或-f(x),则|f(x)|当然在a点可导.
2.lim(|f(x)|-|f(a)|)/(x-a)=lim(|f(x)|-|f(a)|)/(f(x)-f(a))*(f(x)-f(a))/(x-a)=lim(|f(x)|-|f(a)|)/(f(x)-f(a))*f'(a)
由f(a)=0,得上式=lim|f(x)|/f(x)*f'(a)=正负f'(a),有极限唯一性知f'(a)=0.
再问： “若f(a)不等于0，则在a的一个邻域内f(x)也不为0” 为什么？
再答： 这不是连续函数的保号性吗