已知:关于x的方程x2+(k-2)x+k-3=0
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/08 13:28:09
已知:关于x的方程x2+(k-2)x+k-3=0
(1)求证:方程x2+(k-2)x+k-3=0总有实数根;
(2)若方程x2+(k-2)x+k-3=0有一根大于5且小于7,求k的整数值;
(3)在(2)的条件下,对于一次函数y1=x+b和二次函数y2=x2+(k-2)x+k-3,当-1<x<7时,有y1>y2,求b的取值范围.
(1)求证:方程x2+(k-2)x+k-3=0总有实数根;
(2)若方程x2+(k-2)x+k-3=0有一根大于5且小于7,求k的整数值;
(3)在(2)的条件下,对于一次函数y1=x+b和二次函数y2=x2+(k-2)x+k-3,当-1<x<7时,有y1>y2,求b的取值范围.
(1)证明:△=(k-2)2-4(k-3)
=k2-4k+4-4k+12
=k2-8k+16,
=(k-4)2,
∵(k-4)2≥0,
∴此方程总有实根;
(2)解得方程两根为,x1=-1,x2=3-k,
∵方程有一根大于5且小于7,
∴5<3-k<7,
即-7<k-3<-5,
解得-4<k<-2,
∵k为整数,
∴k=-3;
(3)由 (2)知k=-3,
∴y2=x2-5x-6,
∵y1>y2,
∴y2-y1<0,
即x2-6x-6-b<0,
∵在-1<x<7时,有y1>y2,
∴x2-6x-6-b=0的两个根在-1到7之间,
即y=x2-6x-6-b与x轴的交点在-1到7之外,
∴两根之积-6-b<-1×7,
解得b>1.
=k2-4k+4-4k+12
=k2-8k+16,
=(k-4)2,
∵(k-4)2≥0,
∴此方程总有实根;
(2)解得方程两根为,x1=-1,x2=3-k,
∵方程有一根大于5且小于7,
∴5<3-k<7,
即-7<k-3<-5,
解得-4<k<-2,
∵k为整数,
∴k=-3;
(3)由 (2)知k=-3,
∴y2=x2-5x-6,
∵y1>y2,
∴y2-y1<0,
即x2-6x-6-b<0,
∵在-1<x<7时,有y1>y2,
∴x2-6x-6-b=0的两个根在-1到7之间,
即y=x2-6x-6-b与x轴的交点在-1到7之外,
∴两根之积-6-b<-1×7,
解得b>1.
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