在椭圆x^2/8+y^2/2=1上有A,B两点,|AB|长为2,右焦点为F,求S三角形AOB面积最小值

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 20:57:14

设过A、B点直线为y=kx+b,由三角形公式 S△AOB=1/2*d*|AB|,d为O到直线AB的距离,
|AB|为定值,这里只要求出最小距离d即可.
由点到直线距离公式得d=|b|/√(1+k^2),d^2=b^2/(1+k^2),求出b与k的关系即可,
将y=kx+b代入椭圆方程x^2/8+y^2/2=1,化简后有
(1+4k^2)x^2+8kbx+4b^2-8=0 (1)
得与椭圆两个交点x（即A、B点）值：x1+x2=-8kb/(1+4k^2),x1*x2=(4b^2-8)/(1+4k^2)
同理由y=kx+b得x=(y-b)/k,也代入椭圆方程x^2/8+y^2/2=1,化简后有
(1+4k^2)y^2-2by+b^-8k^2=0 (2)
得与椭圆两个交点y（即A、B点）值：y1+y2=2b/(1+4k^2),y1*y2=(b^2-8k^2)/(1+4k^2)
由|AB|=2知,|AB|^2=(x1-x2)^+(y1-y2)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2+(y1+y2)^2-4y1*y2=4
将（1）、（2）式所得的x1+x2,x1*x2及y1+y2,y1*y2代入,化简得到
b^2=(16k^4+32k^2+7)/[4(k^2+1) ] (3)
所以有
d^2=b^2/(1+k^2)
=(16k^4+32k^2+7)/[4(k^2+1)^2]
=4-9/[4(k^2+1)^2 ] (4)
由（4）式可以看出,d^2随k^2增大而增大,当k=0时,有最小值d^2=7/4,即d=√7/2
所以S△AOB最小值=1/2*d*|AB|=1/2*√7/2*2=√7/2

在椭圆x^2/8+y^2/2=1上有A,B两点,|AB|长为2,右焦点为F,求S三角形AOB面积最小值设经过右焦点F的直线l与椭圆x^2/2+y^2=1交于A,B两点,求三角形AOB的面积最大值.O为原点过椭圆x^2/2+y^2=1的一个焦点F作直线l交椭圆于A.B两点.椭圆中心为O.当三角形AOB面积最大时,求直线l的方已知斜率为1的直线经过椭圆x^2+4y^2=4的右焦点交椭圆于A B两点,求AB弦长? 过椭圆x^2/2+y^2=1的一个焦点F作直线l交椭圆于A,B两点,中心为O当三角形AOB面积最大时,求直线l的方程椭圆中心为原点o,焦点在x轴上,离心率e=根号2/2,直线y=x+1交椭圆于A,B两点,且三角形AOB的面积=2/3, 直线y＝kx+b与椭圆x^2∕4+y=1交于A、B两点,若AB的长为2,三角形AOB的面积为1,求直线AB的方程已知斜率为1的直线L过椭圆x^2/4+y^2=1的右焦点F交椭圆于A、B两点,求弦AB的长椭圆内三角形面积问题过椭圆2x^2+y^2=2右焦点的直线交椭圆于A、B两点,求三角形AOB面积的最大值. 点P在椭圆(x^2)/25+(y^2)/16=1上,点A(1,3),F为右焦点,求PA+PF的最小值过椭圆2X^2+Y^2=2上的焦点F的直线L交椭圆于A、B两点,求ΔAOB(O为原点）面积的最大值. 已知斜率为l的直线过椭圆x^2/3+y^2/2=1的右焦点F2,交椭圆A B两点,求弦长AB及三角形ABF1的面积?