已知：一元二次方程二分之一x方+kx+k-二分之一=0.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 12:07:12

已知：一元二次方程二分之一x方+kx+k-二分之一=0.
（1）求证：不论k为何实数时,此方程总有两个实数根；
（2）设k小于0,当二次函数y=二分之一x方+kx+k-二分之一的图像与x轴的两个交点A、B间的距离为4时,求此二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下,若抛物线的顶点为C,过y轴上一点M（0,m）作y轴的垂线l,当m为何值时,直线l与三角形ABC的外接圆有公共点?

（1）因为方程1/2x^2+kx+k-1/2=0的判别式△=k^2-2k+1=(k-1)^2≥0
所以方程1/2x^2+kx+k-1/2=0有两个实数根；
（2）设二次函数图象与x轴的两个交点坐标是A(x1,0) B(x2,0)则|x1-x2|=4
根据一元二次方程的根与系数的关系得 x1+x2=-2k x1x2=2k-1
所以（x1-x2)^2=16 (x1+x2)^2-4x1x2=16 即 (-2k)^2-4(2k-1）=16 解得k=-1 或k=3(舍）
所以y=1/x^2-x-3/2
(3)在（2）的条件下,C(1,-2）,A(-1,0),B(3,0) 显然△ABC是直角三角形,所以△ABC外接圆是以AB中点（1,0）为圆心,以2为半径的圆,要满足直线L与这个圆有公共点,必须使圆心到直线L的距离小于或等于半径2,所以 -2≤m≤2 (题中的点M坐标要改为（0,m) )

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