（2011•深圳一模）已知函数f(x)＝lnx+ax+1(a∈R)．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/12 04:57:58

（2011•深圳一模）已知函数f(x)＝lnx+

x+1

(a∈R)

（1）当a＝
9
2时，f(x)＝lnx+
9
2(x+1)，定义域是（0，+∞），
求得f′(x)＝
1
x−
9
2(x+1)2＝
(2x−1)(x−2)
2x(x+1)2，令f'（x）=0，得x＝
1
2，或x=2．
∵当0＜x＜
1
2或x＞2时，f'（x）＞0；当
1
2＜x＜2时，f'（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，
1
2]、（2，+∞）上单调递增，在(
1
2， 2)上单调递减．
∴f（x）的极大值是 f(
1
2)＝3−ln2，极小值是 f(2)＝
3
2+ln2．
∵当x趋于 0时，f（x）趋于-∞；当x趋于+∞时，f（x）趋于+∞，
由于当g（x）仅有一个零点时，函数f（x）的图象和直线y=k仅有一个交点，
k的取值范围是{k|k＞3-ln2，或k＜
3
2+ln2}．
（2）当a=2时，f(x)＝lnx+
2
x+1，定义域为（0，+∞）．
令h(x)＝f(x)−1＝lnx+
2
x+1−1，∵h′(x)＝
1
x−
2
(x+1)2＝
x2+1
x(x+1)2＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函数． ①当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1；
②当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＜1； ③当x=1时，h（x）=h（1）=0，即f（x）=1．
（3）证明：根据（2）的结论，当x＞1时，lnx+
2
x+1＞1，即lnx＞
x−1
x+1．
令x＝
k+1
k，则有ln
k+1
k＞
1
2k+1，∴
n

k＝1ln
k+1
k＞
n

（2011•深圳一模）已知函数f(x)＝lnx+ax+1(a∈R)．（2012•资阳一模）已知函数f（x）=2lnx-x2+ax，a∈R．（2014•西城区一模）已知函数f（x）=lnx-ax，其中a∈R．已知函数f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R）．已知函数f(x)＝ax+lnx−1，a∈R．已知函数f（x）=lnx+ax+1（a∈R）．已知函数f（x）=ax-1-lnx，a∈R．已知函数f(x)＝lnx−ax+1−ax−1(a∈R) （2014•商丘二模）已知函数f（x）=lnx-x-ax，a∈R．已知函数f(x)＝x+ax(a∈R），g（x）=lnx （2010•沈阳二模）已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．（2014•市中区二模）已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．