在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,根号2)且斜率为k的直线l与椭圆x^2/2+y^2=1有两个不同的交点P和Q

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 12:30:44

在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,根号2)且斜率为k的直线l与椭圆x^2/2+y^2=1有两个不同的交点P和Q
求k的取值范围.
设椭圆与X轴正半轴、Y轴正半轴的焦点分别为A、B,是否存在常数k,使得向量OP+OQ与AB共线?如果存在,求k的值,如果不存在,请说明理由

（1）联立y=kx+√ 2,x^2/2+y^2=1
得到（2k^2+1）x^2+4√ 2kx+2=0
有两个不同的交点P和Q
∴判别式=32k^2-8(2k^2+1)＞0
k＞√ 2/2或者k＜-√ 2/2
（2）设P（x1,kx1+√ 2）,Q（x2,kx2+√ 2）
向量OP+OQ=（x1+x2,k（x1+x2）+2√ 2）
向量AB=（√ 2,-1）
（2k^2+1）x^2+4√ 2kx+2=0
得到x1+x2=-4√ 2k/(2k^2+1)
使得向量OP+OQ与AB共线
则x1+x2：√ 2=k（x1+x2）+2√ 2：-1（一个比例的式子）
x1+x2=-4√ 2k/(2k^2+1)d代入上式
得到k=√ 2/2不满足k＞√ 2/2或者k＜-√ 2/2
所以不存在
[注：当k=√ 2/2时,P Q重合,OP+OQ=（-1,√ 2/2）与AB=（√ 2,-1）共线]