作业帮已知函数y=4^x-3*2^x+3,当其值域为[1,7]时,x的取值范围是
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 17:41:40
已知函数y=4^x-3*2^x+3,当其值域为[1,7]时,x的取值范围是
要解题思路 详细过程以及每一步的思路
要解题思路 详细过程以及每一步的思路
因为：y=4^x-3×2^x+3,y∈[1,7].
所以：1≤4^x-3×2^x+3≤7
-2≤4^x-3×2^x≤4
-2≤(2^2)^x-3×2^x≤4
-2≤(2^x)^2-3×2^x≤4
即：(2^x)^2-3(2^x)+2≥0……………………(1)
和：(2^x)^2-3(2^x)-4≤0……………………(2)
由(1),有：(2^x-2)(2^x-1)≥0
有：2^x-2≥0、2^x-1≥0
或：2^x-2≤0、2^x-1≤0
解得：2^x≥2,即：x≥1
或：2^x≤1,即：x≤0
即：x∈(-∞,0]∪[1,∞).
由(2),有：(2^x-4)(2^x+1)≤0
有：2^x-4≥0、2^x+1≤0
或：2^x-4≤0、2^x+1≥0
解得：-1≤2^x≤4,即：x≤2
即：x∈[-∞,2].
综上所述,有：x∈(-∞,0]∪[1,2].
所以：1≤4^x-3×2^x+3≤7
-2≤4^x-3×2^x≤4
-2≤(2^2)^x-3×2^x≤4
-2≤(2^x)^2-3×2^x≤4
即：(2^x)^2-3(2^x)+2≥0……………………(1)
和：(2^x)^2-3(2^x)-4≤0……………………(2)
由(1),有：(2^x-2)(2^x-1)≥0
有：2^x-2≥0、2^x-1≥0
或：2^x-2≤0、2^x-1≤0
解得：2^x≥2,即：x≥1
或：2^x≤1,即：x≤0
即：x∈(-∞,0]∪[1,∞).
由(2),有：(2^x-4)(2^x+1)≤0
有：2^x-4≥0、2^x+1≤0
或：2^x-4≤0、2^x+1≥0
解得：-1≤2^x≤4,即：x≤2
即：x∈[-∞,2].
综上所述,有：x∈(-∞,0]∪[1,2].
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