作业帮一道线性代数题急求解!
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 17:52:32
一道线性代数题急求解!
已知矩阵A{1,0,-1；0,0,0；-1,0,1}
n为正整数,k为常数,则|kE-A^n|=?
A^n为A的n次幂
感激不尽
已知矩阵A{1,0,-1；0,0,0；-1,0,1}
n为正整数,k为常数,则|kE-A^n|=?
A^n为A的n次幂
感激不尽
这个矩阵A有点特殊,它的秩数是1
那么它可以分解成一个行向量与列向量的乘积
即A=BC 其中B=[1 0 -1]^T C=[1 0 -1]
因为CB=2
那么A^n=(BC)^n=(BC)(BC)...(BC)
=B(CB)(CB).(CB)C 这里有n-1个CB
=B*2^(n-1)*C
=2^(n-1)B*C
再利用|En-AB|=|Em-BA|的性质（m、n表示下标,你去看一下资料书,一般好点的都会有）（当m、n有1个是1时,这个结论很好用）
所以|kE-A^n|=k^n|En-[2^(n-1)/k]B*C|
=k^n|E1-[2^(n-1)/k]C*B|
=k^n[1-2^n/k]
=k^n-k^(n-1)*2^n
限于一些符号不好打,（最好也希望加分,做的那么辛苦了）
那么它可以分解成一个行向量与列向量的乘积
即A=BC 其中B=[1 0 -1]^T C=[1 0 -1]
因为CB=2
那么A^n=(BC)^n=(BC)(BC)...(BC)
=B(CB)(CB).(CB)C 这里有n-1个CB
=B*2^(n-1)*C
=2^(n-1)B*C
再利用|En-AB|=|Em-BA|的性质（m、n表示下标,你去看一下资料书,一般好点的都会有）（当m、n有1个是1时,这个结论很好用）
所以|kE-A^n|=k^n|En-[2^(n-1)/k]B*C|
=k^n|E1-[2^(n-1)/k]C*B|
=k^n[1-2^n/k]
=k^n-k^(n-1)*2^n
限于一些符号不好打,（最好也希望加分,做的那么辛苦了）