作业帮线性代数,正定矩阵的证明
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/17 07:03:17
线性代数,正定矩阵的证明
这个和Hilbert矩阵差不多,一般利用Gram矩阵证明.
考察多项式基底 1,x,x^2,...,x^{n-1},它们线性无关
定义内积为xf(x)g(x)在[0,1]上的积分,那么上述基底的Gram矩阵就是A,所以正定.
再问： Hilbert，Gram矩阵我连概念都不知道，我们教材上只有这些： 矩阵正定的充要条件：1、特征值全为正；2、与单位矩阵合同；3、顺序主子式全大于零。 可以证明吗？
再答： 用顺序主子式也可以证明，因为每个都可以精确算出来，不过这个需要用到Cauchy矩阵的行列式公式，你的知识比较少，这条路可能也未必能走通。
考察多项式基底 1,x,x^2,...,x^{n-1},它们线性无关
定义内积为xf(x)g(x)在[0,1]上的积分,那么上述基底的Gram矩阵就是A,所以正定.
再问： Hilbert，Gram矩阵我连概念都不知道，我们教材上只有这些： 矩阵正定的充要条件：1、特征值全为正；2、与单位矩阵合同；3、顺序主子式全大于零。 可以证明吗？
再答： 用顺序主子式也可以证明，因为每个都可以精确算出来，不过这个需要用到Cauchy矩阵的行列式公式，你的知识比较少，这条路可能也未必能走通。