作业帮如图,已知椭圆C1:y^/a^+x^/b^=1(a>b>1)与抛物线C2:x^=2py(p>0)的交点分别为A、B.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/02 07:59:22
如图,已知椭圆C1:y^/a^+x^/b^=1(a>b>1)与抛物线C2:x^=2py(p>0)的交点分别为A、B.
(1)若C2的焦点恰好是C1的上焦点F,且直线AB过点F,求C1的离心率
(2)设P=1/4,且抛物线C2在点A处的切线l与y轴的交点为D(0,-2),求a^+b^的最小值和此时的椭圆方程.
(1)若C2的焦点恰好是C1的上焦点F,且直线AB过点F,求C1的离心率
(2)设P=1/4,且抛物线C2在点A处的切线l与y轴的交点为D(0,-2),求a^+b^的最小值和此时的椭圆方程.
（1）C2的焦点为（0,p/2)
C1的上焦点F(0,c)
∴c=p/2
∵直线AB过点F
由轴对称性,可设A(m,c),则B(-m,c)
将x²=2py代入y²/a²+x²/b²=1得
y²/a²+2py/b²=1
该方程有两个相等实根c
∴c²/a²+4c²/b²=1
e^4-6e²+1=0
解得e=√2-1
(2) P=1/4时,抛物线为y=2x²
对x求导y'=4x
设A(m,n),则切线的斜率为4m
切线方程为y+2=4mx
∴n+2=4m²,且n=2m²,n²/a²+m²/b²=1
∴n=2,m=±1
4/a²+1/b²=1
a²+b²=a²+a²/(a²-4)=r
则化成关于a²的一元二次方程,△>=0
可得r>=9
即a²+b²的最小值是9
此时a²=6,b²=3
∴y²/6+x²/3=1
C1的上焦点F(0,c)
∴c=p/2
∵直线AB过点F
由轴对称性,可设A(m,c),则B(-m,c)
将x²=2py代入y²/a²+x²/b²=1得
y²/a²+2py/b²=1
该方程有两个相等实根c
∴c²/a²+4c²/b²=1
e^4-6e²+1=0
解得e=√2-1
(2) P=1/4时,抛物线为y=2x²
对x求导y'=4x
设A(m,n),则切线的斜率为4m
切线方程为y+2=4mx
∴n+2=4m²,且n=2m²,n²/a²+m²/b²=1
∴n=2,m=±1
4/a²+1/b²=1
a²+b²=a²+a²/(a²-4)=r
则化成关于a²的一元二次方程,△>=0
可得r>=9
即a²+b²的最小值是9
此时a²=6,b²=3
∴y²/6+x²/3=1
如图,已知椭圆C1:y^/a^+x^/b^=1(a>b>1)与抛物线C2:x^=2py(p>0)的交点分别为A、B.
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