如图,平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在y轴的正半轴上,一直角边AC在射线OP上,且顶点A与原点重合,已知AC=

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 09:43:16

如图,平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在y轴的正半轴上,一直角边AC在射线OP上,且顶点A与原点重合,已知AC=3,BC=4随着顶点A由点O出发沿x轴的正半轴滑动（点A始终在x轴上）,顶点B也沿着y轴向点O滑动,这样点C的位置也相应的改变.
（1）设点C的横坐标为m,问在滑动过程中,顶点C是否总在射线OP上?若在,请给出证明,并求出m的取值范围；若不在,请说明理由；
（2）在（1）的情况下,当顶点B下滑到点O处（即B.O两点重合）时,顶点C在从滑动开始到结束的整个过程中移动的路程是多少?

空的地方是根号!
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：（1）A（1- 3 3 ,0）或A（1+ 3 ,0）；
（2）①∵Rt△ACB旋转得Rt△A′B′O,
∴Rt△ACB≌Rt△A′B′O．
∴∠A=∠A’=60°AO=A′O．
∵OF=OA=2,
∴△A′OF是等边三角形．
∴∠A′OF=60°．
∴∠AOA′=30°．
②在△AMO中,∠OAM=60°,∠AOA′=30°,
∴∠AMO=90°,AM=1 2 OA=1 2 ×2=1,ON= 3 MN= 3 ；
∴A′N=A′O-NO=2- 3 ,MN= 3 ,A′N= 3 （2- 3 ）；
∴S△AMN=1 2 A′N•MN= 3 2 （2- 3 ）2=7 2 3 -6．
过点F作FG⊥OA′于G,则FG= 3 ,
∴S△FOA′=1 2 OA′•FG=1 2 ×2× 3 = 3 ；
∴SFOMN=S△FOA-S△AMN= 3 -（7 2 3 -6）=6-5 2 3 ．
∴四边形FOMN的面积是（6-5 2 3 ）平方单位．