线性空间中的坐标变换和线性变换是什么关系啊

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 18:45:45

线性空间中的坐标变换和线性变换是什么关系啊
知道的说详细点

我手上的一本《矩阵论》中并没有坐标变换的准确定义.百度百科中有坐标变换在几何范畴的意义,其所述的平移、旋转等这些坐标变换应该属于特殊的线性变换(旋转变换就是一正交变换).
不过我想您所问的坐标变换应该与基变换有关.即某n维空间中的一个向量α在两组不同基{α1,α2,…,αn}和{β1,β2,…,βn}下的坐标(X与Y)与两组基的基变换矩阵C的关系：X=CY.
这与线性变换的公式Y=AX很相似.
不过它们的意义是完全不同的,前者的X、Y是同一个向量在两组基下的坐标；后者的X、Y是一个向量它本身(α)和它经过线性变换后的向量(T(α))在同一个基下的坐标.前者的C矩阵是不变的,只与{α1,α2,…,αn}和{β1,β2,…,βn}两组基有关；后者的矩阵A与给定基有关,在另一组基下线性变换矩阵也要变化（B=C逆AC）.
可以说,这个意义上坐标变换和线性变换是没有太大关系的.套用物理的说法就是一个是物体位置姿态发生了变化,一个是参考坐标系发生的改变.
打个比方,自然基下,x轴单位向量坐标X=(1,0,0)T.使它绕Z轴转90度,变成Y=(0,-1,0)T,这是线性变换,线性变换矩阵为A=[0 1 0; -1 0 0; 0 0 1],Y=AX.x轴单位向量在自然基下坐标X=(1,0,0)T,在{β1=(0,1,0)T,β2=(-1,0,0)T,β3=(0,0,1)T}下的坐标为Y=(0,-1,0),基变换矩阵为C=[0 -1 0; 1 0 0; 0 0 1],X=CY.如果再考虑{β1,β2,β3}下的线性变换,变换矩阵B=C逆AC=[0 1 0; -1 0 0; 0 0 1]（这个例子有点特殊,B=A）.
上面的例子中的线性变换是一个旋转变换,所以也是几何意义上的坐标变换.
不知我对于问题的理解是否正确.

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