作业帮求解一道微积分证明题,中值定理
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 06:30:16
求解一道微积分证明题,中值定理
f(x)在[0,a]上连续,(0,a)内可导,且f(a)=0..证明存在一点ξ,属于(0,a)使f(ξ)+ξf’(ξ)=0.
f(x)在[0,a]上连续,(0,a)内可导,且f(a)=0..证明存在一点ξ,属于(0,a)使f(ξ)+ξf’(ξ)=0.
其实很简单的
设h(x)=xf(x)
则h(0)=0f(0)=0
h(a)=af(a)=0
则根据拉格朗日中值定理：
如果函数在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那末在(a,b)内至少有一点c,使
f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)成立.
这道题中,由于h(a)=h(0)
那么(0,a)中存在一点ξ
使得h(a)-h(0)=ah'(ξ)
则h'(ξ)=0
而由于h(x)=xf(x)
则h'(x)=f(x)+xf'(x)
h'(ξ)=f(ξ)+ξf’(ξ)
所以f(ξ)+ξf’(ξ)=0.
设h(x)=xf(x)
则h(0)=0f(0)=0
h(a)=af(a)=0
则根据拉格朗日中值定理：
如果函数在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那末在(a,b)内至少有一点c,使
f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)成立.
这道题中,由于h(a)=h(0)
那么(0,a)中存在一点ξ
使得h(a)-h(0)=ah'(ξ)
则h'(ξ)=0
而由于h(x)=xf(x)
则h'(x)=f(x)+xf'(x)
h'(ξ)=f(ξ)+ξf’(ξ)
所以f(ξ)+ξf’(ξ)=0.