作业帮一道微积分中值定理的证明题,麻烦高手给出证明过程,万分感激
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 23:56:40
一道微积分中值定理的证明题,麻烦高手给出证明过程,万分感激
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证:
(1)存在n属于(1/2,1),使得f(n)=n;
(2)存在k属于(0,n),使得f'(k)-[f(k)-k]=1;
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证:
(1)存在n属于(1/2,1),使得f(n)=n;
(2)存在k属于(0,n),使得f'(k)-[f(k)-k]=1;
证明：(1)设g(x)=f(x)-x,则
g(1/2)=f(1/2)-1/2=1-1/2=1/2>0
g(1)=f(1)-1=-1
再问： G'(k)不应该等于[f'(k)-1]e^x+[f(k)-k]e^x吗？怎么中间的加号您写成减号了呢？
再答： 呵呵。。。没注意，修改如下： 设G(x)=[f(x)-x]/e^x，则 G(0)=f(0)-0=0又G(n)=[f(n)-n]/e^n=0 所以，G(0)=G(n) 由罗尔定理，存在k属于(0,n)，使得G'(k)={[f'(k)-1]e^x-[f(k)-k]e^x}/e^(2x)=0 即存在k属于(0,n)，使得f'(k)-[f(k)-k]=1
再问： 这种辅助函数的构造方法是怎么想出来的啊，求赐教，或者有什么好的辅导书有这类的题的方法讲解啊?
再答： 这种构造方法很典型也常见，充分利用e^x这个函数的导数仍是本身。陈文灯编的一本考研复习全书或者李永乐、李正元编的考研复习全书对于这方面的题证明方法总结比较好。
g(1/2)=f(1/2)-1/2=1-1/2=1/2>0
g(1)=f(1)-1=-1
再问： G'(k)不应该等于[f'(k)-1]e^x+[f(k)-k]e^x吗？怎么中间的加号您写成减号了呢？
再答： 呵呵。。。没注意，修改如下： 设G(x)=[f(x)-x]/e^x，则 G(0)=f(0)-0=0又G(n)=[f(n)-n]/e^n=0 所以，G(0)=G(n) 由罗尔定理，存在k属于(0,n)，使得G'(k)={[f'(k)-1]e^x-[f(k)-k]e^x}/e^(2x)=0 即存在k属于(0,n)，使得f'(k)-[f(k)-k]=1
再问： 这种辅助函数的构造方法是怎么想出来的啊，求赐教，或者有什么好的辅导书有这类的题的方法讲解啊?
再答： 这种构造方法很典型也常见，充分利用e^x这个函数的导数仍是本身。陈文灯编的一本考研复习全书或者李永乐、李正元编的考研复习全书对于这方面的题证明方法总结比较好。