作业帮分块矩阵的行列式
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 09:31:29
分块矩阵的行列式
A B
C D
= |A||D-CA^-1B|
其中A为可逆方阵
当A可逆时,第1行乘 -CA^-1 加到第2行得
A B
0 D-CA^-1B
注(1): 若 AC=CA, 则上式 = |AD-CB|
注(2): 若 A 不可逆, 且AC=CA, 仍有 上式 = |AD-CB|
当 |A|=0时,
令 f(x)= |xE+A|,f(x)是次数不超过n的多项式,定有无数x使f(x)≠0
用 xE+A 替换原来A的位置,因为无数x满足条件,所以是恒等式,取x=0即得证.
再问： 那没有额外的条件,是不是根本算不出来tangram_guid_1361412503140
再答： 若没条件,就不能按分块的方式计算
再问： 老师,再问个问题: 秩(A+B)=秩A,当且仅当秩B=0 为什么错?
再答： 给你个例子就明白了 A= 1 1 0 0 B=A 则 r(A+B) = 2 = r(A) 但 B≠0
再问： 那个秩应该还是1吧, 那 秩(A+B)=秩A 的充要条件是？
再答： 这个稍麻烦, 需考虑 A+B 的列向量与B的列向量之间的关系 即 A+B 的列向量与B的列向量 等价
C D
= |A||D-CA^-1B|
其中A为可逆方阵
当A可逆时,第1行乘 -CA^-1 加到第2行得
A B
0 D-CA^-1B
注(1): 若 AC=CA, 则上式 = |AD-CB|
注(2): 若 A 不可逆, 且AC=CA, 仍有 上式 = |AD-CB|
当 |A|=0时,
令 f(x)= |xE+A|,f(x)是次数不超过n的多项式,定有无数x使f(x)≠0
用 xE+A 替换原来A的位置,因为无数x满足条件,所以是恒等式,取x=0即得证.
再问： 那没有额外的条件,是不是根本算不出来tangram_guid_1361412503140
再答： 若没条件,就不能按分块的方式计算
再问： 老师,再问个问题: 秩(A+B)=秩A,当且仅当秩B=0 为什么错?
再答： 给你个例子就明白了 A= 1 1 0 0 B=A 则 r(A+B) = 2 = r(A) 但 B≠0
再问： 那个秩应该还是1吧, 那 秩(A+B)=秩A 的充要条件是？
再答： 这个稍麻烦, 需考虑 A+B 的列向量与B的列向量之间的关系 即 A+B 的列向量与B的列向量 等价