有一块扇形铁板,半径为R,圆心角为60度,从这个扇形中切割下一个内接矩形,即矩形的各个顶点都在扇形

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/18 02:36:13

有一块扇形铁板,半径为R,圆心角为60度,从这个扇形中切割下一个内接矩形,即矩形的各个顶点都在扇形
的半径或弧上,求这个内接矩形的最大面积

如图,存在两种情况
①见左图
设∠BOC=α（0＜α＜60°）
那么,AD=BC=R*sinα；OB=R*cosα
而,OA/AD=cot60°=√3/3
所以,OA=(√3/3)AD=(√3/3)*R*sinα
则,AB=OB-OA=Rcosα-(√3/3)Rsinα
所以,S矩形ABCD=AB*BC=R*[cosα-(√3/3)sinα]*R*sinα
=R^2*[sinαcosα-(√3/3)sin^2 α]
=R^2*[(1/2)sin2α-(√3/3)*(1-cos2α)/2]
=R^2*[(1/2)sin2α+(√3/6)cosα-(√3/6)]
令f(α)=(1/2)sin2α+(√3/6)cosα=(√3/3)*[(√3/2)sin2α+(1/2)cos2α]
=(√3/3)sin[2α+(π/6)]
所以,当2α+(π/6)=π/2时,f(α)有最大值=√3/3
此时：α=π/6
所以,S有最大值=(√3/6)R^2

②见右图
设OA=2x（0＜x＜R/2）
由对称性知,OE⊥AD,OE⊥BC
△OAD为等边三角形
所以,AD=BC=2x
那么,CE=x
由勾股定理得：OE=√(R^2-x^2)
而,OF=√3x
所以,EF=OE-OF=√(R^2-x^2)-√3x
所以,S矩形ABCD=AB*BC=EF*BC=[√(R^2-x^2)-√3x]*2x
令x=Rsinθ（θ∈(0,π/6)）
则,S矩形ABCD=(Rcosθ-√3Rsinθ)*2Rsinθ
=2R^2*(sinθcosθ-√3sin^2 θ)
=2R^2*[(1/2)sin2θ-(√3/2)(1-cos2θ)]
=2R^2*[sin(2θ+π/3)-(√3/2)]
则,当θ=π/12时,S矩形有最大值=(2-√3)R^2

对照两个结果可以发现,S矩形ABCD的最大值=(√3/6)R^2