作业帮已知m、n均为正整数,且mn│m²+n²+m.证明m是一个完全平方数.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/11 00:44:26
已知m、n均为正整数,且mn│m²+n²+m.证明m是一个完全平方数.
mn│(m^2+n^2+m),即m|n^2
n|(m^2+m)--> n|m(m+1),因为m,m+1互质,所以需有：m=kn 或m+1=kn
当m+1=kn时,m=kn-1,因为kn-1,n 互质,所以不可能m|n^2,所以m+1不能为kn.
当m=kn时,由m|n^2得：k|n,即n=kr,因此m=k^2r
mn=k^3r^2
m^2+n^2+m=k^2r(k^2r+r+1)
所以由mn|(m^2+n^2+1),得：kr|(k^2r+r+1),因此r|1,所以r=1.
故有：m=k^2为完全平方数.
再问： 这个看过了，能把过程写的整齐些吗？比如：^2写成²吗？
再答： mn│(m²+n²+m), 即m|n² n|(m²+m)--> n|m(m+1), 因为m, m+1互质， 所以m=kn 或m+1=kn（k为正整数） 1、当m+1=kn时，m=kn-1, 因为kn-1, n 互质，所以不可能m|n², 所以m+1不能为kn. 2、当m=kn时，由m|n²得：k|n, 设n=kr, （r为正整数） 因此m=k²r 所以mn=k^3r² 所以m²+n²+m=k²r(k²r+r+1) 所以由mn|(m²+n²+1)，得：kr|(k²r+r+1)， 因此r|1, 所以r=1. 故有：m=k²为完全平方数。
再问： 你这是什么啊？第一步就没动，能不能把每部写的详细些啊？或者把每部为什么都写出来啊！拜托了
再答： 因为mn│(m²+n²+m) 又因为m|mn 所以m|m²+n²+m), 又因为m│(m²+m), 所以即m|n² mn│(m²+n²+m), 又因为n|mn 所以n|（m²+n²+m), 又因为m│n² 所以n|m(m+1), 又因为m, m+1互质， 所以n必整除其中一个 所以设 m=kn 或m+1=kn（k为正整数） 分类讨论： 1、当m+1=kn时，m=kn-1, 因为(kn-1, n)=1,即 kn-1不能整除n² 又因为题目推出kn-1|n², 矛盾 所以m+1不能为kn. 所以m=kn 又因为m|n² 得：kn|n² 同时约去n，得k|n, 所以设n=kr, （r为正整数） 因此m=kn=k²r 所以mn=k^3*r² 所以m²+n²+m=k²r(k²r+r+1) 所以由mn|(m²+n²+1)， 得：k^3*r²|k²r(k²r+r+1)， 约去k²r， 得kr|(k²r+r+1) 又因为r|kr 所以r|(k²r+r+1) 又因为r|(k²r+r） 因此r|1, 所以r=1. 故有：m=kn=k²r，即m=k²为完全平方数。
n|(m^2+m)--> n|m(m+1),因为m,m+1互质,所以需有：m=kn 或m+1=kn
当m+1=kn时,m=kn-1,因为kn-1,n 互质,所以不可能m|n^2,所以m+1不能为kn.
当m=kn时,由m|n^2得：k|n,即n=kr,因此m=k^2r
mn=k^3r^2
m^2+n^2+m=k^2r(k^2r+r+1)
所以由mn|(m^2+n^2+1),得：kr|(k^2r+r+1),因此r|1,所以r=1.
故有：m=k^2为完全平方数.
再问： 这个看过了，能把过程写的整齐些吗？比如：^2写成²吗？
再答： mn│(m²+n²+m), 即m|n² n|(m²+m)--> n|m(m+1), 因为m, m+1互质， 所以m=kn 或m+1=kn（k为正整数） 1、当m+1=kn时，m=kn-1, 因为kn-1, n 互质，所以不可能m|n², 所以m+1不能为kn. 2、当m=kn时，由m|n²得：k|n, 设n=kr, （r为正整数） 因此m=k²r 所以mn=k^3r² 所以m²+n²+m=k²r(k²r+r+1) 所以由mn|(m²+n²+1)，得：kr|(k²r+r+1)， 因此r|1, 所以r=1. 故有：m=k²为完全平方数。
再问： 你这是什么啊？第一步就没动，能不能把每部写的详细些啊？或者把每部为什么都写出来啊！拜托了
再答： 因为mn│(m²+n²+m) 又因为m|mn 所以m|m²+n²+m), 又因为m│(m²+m), 所以即m|n² mn│(m²+n²+m), 又因为n|mn 所以n|（m²+n²+m), 又因为m│n² 所以n|m(m+1), 又因为m, m+1互质， 所以n必整除其中一个 所以设 m=kn 或m+1=kn（k为正整数） 分类讨论： 1、当m+1=kn时，m=kn-1, 因为(kn-1, n)=1,即 kn-1不能整除n² 又因为题目推出kn-1|n², 矛盾 所以m+1不能为kn. 所以m=kn 又因为m|n² 得：kn|n² 同时约去n，得k|n, 所以设n=kr, （r为正整数） 因此m=kn=k²r 所以mn=k^3*r² 所以m²+n²+m=k²r(k²r+r+1) 所以由mn|(m²+n²+1)， 得：k^3*r²|k²r(k²r+r+1)， 约去k²r， 得kr|(k²r+r+1) 又因为r|kr 所以r|(k²r+r+1) 又因为r|(k²r+r） 因此r|1, 所以r=1. 故有：m=kn=k²r，即m=k²为完全平方数。
已知m、n均为正整数,且mn│m²+n²+m.证明m是一个完全平方数.
已知m、n均为正整数,且mn│m∧2+n∧2+m.证明m是一个完全平方数
1.已知m,n均为正整数,且m大于n,2006m的平方+m=2007n的平方+n,问m-n是否为完全平方数,并证明你的结
设m一个小于2006的四位数,存在正整数n,使得m－n为质数,且mn是一个完全平方数,求满足条件的所有四位数m
已知直角三角形两直角边长分别为l、m,斜边为n,且l、m、n均为正整数,l为质数 求证：2（l+m+n）是完全平方数
设m,n为正整数,证明y=1/2[m^4+n^4+(m+n)^4]是完全平方数
已知M,N为正整数,且M平方=N平方+11,则MN的值是多少?
已知m,n为正整数,且m的平方=n的平方+11,则mn的值是多少?
已知m,n为正整数,且m的平方等于n的平方加上11,则mn的值是多少?
求所有正整数对（m,n）,使得m²-4n和n²-4m均是完全平方数.
已知m,n均为正整数,且m的平方-n的平方=68,求m,n
代数、数论1.设 k,m,n为正整数,k=m^2+n^2/mn+1,证明k是平方数2.设 k,m,n为正整数,k=m+1