设f(x)在[a,b]上连续,且至少有一个零点,证明f(x)在[a,b]上必有最小零点.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/21 08:19:17
设f(x)在[a,b]上连续,且至少有一个零点,证明f(x)在[a,b]上必有最小零点.
这道题有意思~我来说个方法,你看看行不行.
首先假如函数在区间[a,b]内有有限个零点的话,那么有限个数我不管怎么样都可以找出来一个最小的,于是肯定有最小零点.
现在只看无限个零点的情况.这些无限个零点构成一个数集,这个数集是包含在区间[a,b]里面的,于是它是有界的.根据确界存在定理,有界数集必然存在下确界,设所有零点的下确界是个x0,现在就要证x0也是个零点,这样的话既是下确界又是零点,那么x0不就是最小的零点吗?
反证法,假设x0不是零点,那么f(x0)=y0≠0.肯定x0∈[a,b]这没问题.由下确界定义,任给δ>0,[x0,x0+δ]内都有零点,也就是存在x'∈[x0,x0+δ],使得f(x')=0;于是在区间[x0,x0+δ]内有一点x'使得
|f(x')-f(x0)|=|y0|>|y0|/2.但是我现在连续函数要求任给ε>0存在δ>0使得只要|x-x0||y0|/2.这就和连续矛盾了.于是只有x0也是个零点,它就是最小零点.
首先假如函数在区间[a,b]内有有限个零点的话,那么有限个数我不管怎么样都可以找出来一个最小的,于是肯定有最小零点.
现在只看无限个零点的情况.这些无限个零点构成一个数集,这个数集是包含在区间[a,b]里面的,于是它是有界的.根据确界存在定理,有界数集必然存在下确界,设所有零点的下确界是个x0,现在就要证x0也是个零点,这样的话既是下确界又是零点,那么x0不就是最小的零点吗?
反证法,假设x0不是零点,那么f(x0)=y0≠0.肯定x0∈[a,b]这没问题.由下确界定义,任给δ>0,[x0,x0+δ]内都有零点,也就是存在x'∈[x0,x0+δ],使得f(x')=0;于是在区间[x0,x0+δ]内有一点x'使得
|f(x')-f(x0)|=|y0|>|y0|/2.但是我现在连续函数要求任给ε>0存在δ>0使得只要|x-x0||y0|/2.这就和连续矛盾了.于是只有x0也是个零点,它就是最小零点.
设f(x)在[a,b]上连续,且至少有一个零点,证明f(x)在[a,b]上必有最小零点.
设f(x)在[a,b]上连续,且没有零点,证明f(x)在[a,b]上保号
设函数f(x)j连续于(a,b).且没有零点,证明:f(x)在(a,b)上保号,
运用连续的性质,证明:如f(x)在[a,b]上连续,且无零点,则f(x)>0或f(x)<0
f(x)在【a,b】上连续,f(a)=f(b)=0,一阶导数乘积大于零,证f(x)在[a,b]内至少有一个零点
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)b,证明在开区间(a,b)内至少有一个点x,使得f(x)=x
关于零点存在性定理定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与 f(b)异号(即f(a)× f(
设f‘(x)在[a,b]上连续,且f(a)=0,证明:|∫b a f(x)dx|
设函数f(x)在(a,b)上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=0,证明:至少存在一点n属于(a,b)
零点定理函数f(x)在(a,b)内存在零点的充要条件是f(x)在[a,b] 上连续,且f(a)f(b)<0.那为啥不能说
证明设f(x)在有限开区间(a,b)内连续,且f(a+) ,f(b-)存在,则f(x)在(a,b)上一致连续.
【中值定理证明题】设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)f(b)>0,f(a)f((a+b)/