作业帮高数证明:在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/17 01:54:30
高数证明:在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值
经书上没给出证明,大神给个证明的链接什么的也行
经书上没给出证明,大神给个证明的链接什么的也行
都用到了聚点原理：闭区间[a,b]上的无穷数列{xn}一定有聚点,i.e.存在{xn}的子列{xk}及某个点y∈[a,b] s.t.
lim x(k) = y
证明：如果f(x)在[a,b]上无界,则存在序列{xn} s.t.
|f(xn)| -> 无穷.
由聚点原理存在子列{xk}及y s.t. xk -> y.
由连续性f(xk)->f(y).
但是{xk}是{xn}的子列,所以|f(xk)| ->无穷.矛盾.
下证能取到最小值.设m = inf{f(x): x∈[a,b]}
由下确界定义,存在{xn}s.t. f(xn)->m
仿照上面取y,利用连续性得到f(y) = m.
同理可证最大值
再问： 谢谢，要看数学分析吗？聚点原理，第一次听到这概念
再答： 聚点原理表述的是实数完备性，和实数中的确界定理、闭区间套、单调数列有极限、Cauchy列有极限、有限覆盖定理等价。如果真想弄懂，可能要参考数学分析教材。
lim x(k) = y
证明：如果f(x)在[a,b]上无界,则存在序列{xn} s.t.
|f(xn)| -> 无穷.
由聚点原理存在子列{xk}及y s.t. xk -> y.
由连续性f(xk)->f(y).
但是{xk}是{xn}的子列,所以|f(xk)| ->无穷.矛盾.
下证能取到最小值.设m = inf{f(x): x∈[a,b]}
由下确界定义,存在{xn}s.t. f(xn)->m
仿照上面取y,利用连续性得到f(y) = m.
同理可证最大值
再问： 谢谢，要看数学分析吗？聚点原理，第一次听到这概念
再答： 聚点原理表述的是实数完备性，和实数中的确界定理、闭区间套、单调数列有极限、Cauchy列有极限、有限覆盖定理等价。如果真想弄懂，可能要参考数学分析教材。
高数证明:在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值
求函数在闭区间上的最大值和最小值.
3、函数y= 在闭区间[a,b]上连续是函数y= 在[a,b]上取得最大值与最小值的………（ ）
函数在闭区间上连续,则有最大值和最小值
为何函数fx在闭区间上连续,就一定在该区间上一致连续
为什么在闭区间[a,b]上连续的函数 在[a,b]上必有最大值与最小值.
函数在某闭区间连续,证明：该函数的上确界函数在这个闭区间连续.
一个函数在闭区间连续,在在闭区间上一定有最大最小值,
求函数在给定区间上的最大值与最小值
某函数在一个闭区间上连续且可导,那么它的导函数是否在这个闭区间上连续?
求函数y=-1/x+2在区间[-5,-3]上的最大值和最小值 高一数学
函数在某闭区间上可积,那它在该区间上连续吗?