已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 21:08:52

已知抛物线y=ax²+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a，b值，并求S的最大值．

依题设可知抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x₁=0，x2＝−
b
a，
所以S＝
∫−
b
a0(ax2+bx)dx=（
1
3ax3+
1
2bx2）
|−
b
a0
=
1
3a•(−
b
a)3+
1
2b•(−
b
a)2
=
1
6a2•b3（1）…（4分）
又直线x+y=4与抛物线y=ax²+bx相切，
即它们有唯一的公共点
由方程组

x+y＝4
y＝ax2+bx，
得ax²+（b+1）x-4=0，其判别式△必须为0，
即△=（b+1）²+16a=0，
于是a＝−
1
16(b+1)2，…（8分）
代入（1）式得：S(b)＝
128b3
3(b+1)4(b＞0)，
S′(b)＝
128b2(3−b)
3(b+1)5．
令S′（b）=0，在b＞0时，得b=3；
当0＜b＜3时，S′（b）＞0；
当b＞3时，S′（b）＜0．
故在b=3时，S（b）取得极大值，也是最大值，
即a=-1，b=3时，S取得最大值，且Smax＝
9
2．…（12分）

已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a 用导数求面积最小值抛物线y=ax^2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S, 求抛物线y=ax²＋bx在第一象限内与直线x＋y＝4相切,此抛物线与x轴所围成的图形的面积已知抛物线y=2x平方和直线y=4x （1）求此抛物线与直线所围成图形的面积在第一象限内由原点作抛物线fx=x2-2x+4的切线,设切点为Q,求切线OQ与抛物线及Y轴所围图形的面积A. 已知抛物线y=ax2+bx-1的对称轴为直线x=-1，其最高点在直线y=2x+4上．求抛物线与直线的交点坐标．求抛物线Y=X平方与直线Y=x所围图形的面积如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点M在第一象限，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），与y 求抛物线y2=x与直线x-y-2=0所围成的图形的面积．如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,D两点,与y轴交于点C,抛物线的顶点B在第一象限,若点A的坐标为（1,0）求抛物线y = x(x-2) 与直线y=x所围成的平面图形的面积抛物线y=x的平方与直线y=2x在第一象限内有一个交点A