作业帮关于 线性代数 中 特征值与特征向量
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 19:22:07
关于 线性代数 中 特征值与特征向量
1.为什么A与B等价的充要条件是A与B的秩相同(r(A)=r(B))?
为什么A与B相似的充要条件是A与B的迹相同（tr(A)=tr(B)?
2.设A = ξ η†（ η†表示η的逆,上标打不出来）,其中
ξ = [X1,X2,… ,Xn]† ≠ 0,η = [X1,X2,… ,Xn]† ≠ 0.
求证：ξ是A的特征向量,并指出其对应的特征值.
说错了%>_
1.为什么A与B等价的充要条件是A与B的秩相同(r(A)=r(B))?
为什么A与B相似的充要条件是A与B的迹相同（tr(A)=tr(B)?
2.设A = ξ η†（ η†表示η的逆,上标打不出来）,其中
ξ = [X1,X2,… ,Xn]† ≠ 0,η = [X1,X2,… ,Xn]† ≠ 0.
求证：ξ是A的特征向量,并指出其对应的特征值.
说错了%>_
等价就是用一系列初等行列变换的两个矩阵,只要秩相等,两个矩阵就都能化为标准形,对角线有r=r(A)个1,其余为0的矩阵.
第二个结论不对,相似矩阵迹相等,但迹相等不一定相似.
第二题根本没看明白,是说A写成两个可逆矩阵的乘积吗?
再问： 是的，那两个是乘积。 还有等价不是两个向量组可以互相线性表示么？
再答： 那是向量组的等价，不是矩阵的等价。当然可以证明两者之间是等价的一个问题。 第二题看明白了，是两个向量的乘积，不是矩阵。 A=xy^T,x y都非零，则Ax=xy^Tx=(y^Tx)x，注意y^Tx是一个实数，故x是特征向量，y^Tx就是对应的特征值。
第二个结论不对,相似矩阵迹相等,但迹相等不一定相似.
第二题根本没看明白,是说A写成两个可逆矩阵的乘积吗?
再问： 是的，那两个是乘积。 还有等价不是两个向量组可以互相线性表示么？
再答： 那是向量组的等价，不是矩阵的等价。当然可以证明两者之间是等价的一个问题。 第二题看明白了，是两个向量的乘积，不是矩阵。 A=xy^T,x y都非零，则Ax=xy^Tx=(y^Tx)x，注意y^Tx是一个实数，故x是特征向量，y^Tx就是对应的特征值。