如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，AA1=4，AB=2，点E在棱CC1上

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/18 10:59:00

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，AA₁=4，AB=2，点E在棱CC₁上，点F是棱C₁D₁的中点；

（Ⅰ）若E是CC₁的中点，求证：EF∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求出CE的长度，使得A₁-BD-E为直二面角．

（I）连接CD₁，

∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D₁∥B₁C₁，A₁D₁=B₁C₁且B₁C₁∥BC，B₁C₁=BC
∴四边形A₁D₁BC是平行四边形，可得CD₁∥A₁B
∵△C₁CD₁中，EF是中位线，∴EF∥CD₁∴EF∥A₁B-----（3分）
∵EF⊄面ABB₁A₁，A₁B⊆面ABB₁A₁
∴EF∥平面A₁BD；…（6分）
（II）连接AC与BD相交于点O，连接A₁O，EO
∵AA₁⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD，∴BD⊥AA₁∵菱形ABCD中，AC⊥BD，AC、AA₁是平面AA₁C₁C内的相交直线，
∴BD⊥平面AA₁C₁C
∵A₁O、EO⊆平面AA₁C₁C，∴A₁O⊥BD、EO⊥BD
∴∠A₁OE就是二面角A₁-BD-E的平面角，
因此，要使A₁-BD-E为直二面角，即∠A₁OE=90°，可得∠A₁OA+∠EOC=90°
∴∠OEC=∠A₁OA=90°-∠EOC，结合∠A₁AO=∠OCE=90°，得△A₁AO～△OCE．
设CE=x，所以
AA1
OC=
OA
CE，…（*）
∵四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形，AB=2
∴AO=OC=
1
2AC=
3，
又因为AA₁=4，代入（*）可得
4

3＝

3
x，解之得x＝
3
4
∴当CE的长度为
3
4时，二面角A₁-BD-E为直二面角．…（12分）

如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，AA1=4，AB=2，点E在棱CC1上在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,AA1=2,AB=1,点E是棱CC1的高二立体几何.如图,在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,AB ＝ 2,AA1 ＝ 4 ,∠DAB 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且AD=AB=AA1=2，∠BAD=60°，E为AB的四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,且AA1垂直平面ABCD,∠DAB=60°,AD=AA1,F为棱AA1中点如图4，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，侧面是正方形，角DAB=60度，E是棱CB的延长线（2004•黄埔区一模）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是面积为23的菱形，∠ABC=60°，E、F 如图所示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC （2014•梅州二模）如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1，底面ABCD为菱形，∠ADC=120 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AA1⊥底面ABCD，AB=2，AA1=BC=4，∠ 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为CC1的中点．