（2014•和平区三模）阅读下面材料

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/08 12:59:36

（2014•和平区三模）阅读下面材料
小明遇到这样一个问题；如图①，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．
小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图②）
请回答：
（Ⅰ）如图②，AR的长为______．
（Ⅱ）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为______；
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图③，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S_△RPQ=

（I）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAR=90°，
∵AE=1，∠DEP=45°，
∴∠AER=∠DEP=45°，
∴∠R=45°，
∴AR=AE=1．
故答案为：1；

（II）∵四个等腰直角三角形的斜边长为a，

∴斜边上的高为
1
2a，
∵每个等腰直角三角形的面积为：
1
2a•
1
2a=
1
4a²，
∴拼成的新正方形面积为：4×
1
4a²=a²，即与原正方形ABCD面积相等，
∴这个新正方形的边长为a；
如答图1所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．
由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．
不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．
如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=
1
2SF=
1
2a，

在Rt△RMF中，RM=MF•tan30°=
1
2a×

3
3=

3
6a，
∴S_△RSF=
1
2a•

3
6a=

3
12a²．
过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，
则AN=AD•sin30°=

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