（2013•大港区一模）将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/01 23:16:24

（1）如图（1），在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；
（2）如图（2），在OA、OC边上选取适当的点E′、F，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上D′点，过D′作D′G∥AO交E′F于T点，交OC于G点，求证：TG=AE′；
（3）在（2）的条件下，设T（x，y）．①探求：y与x之间的函数关系式．②指出变量x的取值范围．

（1）如图（1），∵将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，
∴DC=OC=10．
在Rt△BCD中，∵∠B=90°，BC=OA=6，DC=10，
∴BD=
DC2−BC2=8．
在Rt△AED中，∵∠DAE=90°，AD=2，DE=OE，AE=6-OE，
∴DE²=AD²+AE²，即OE²=2²+（6-OE）²，
解得 OE=
10
3，
∴E点的坐标为（0，
10
3）；

（2）如图（2），∵将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上D′点，
∴∠D′E′F=∠OE′F，D′E′=OE′，
∵D′G∥AO，
∴∠OE′F=∠D′TE′，
∴∠D′E′F=∠D′TE′，
∴D′T=D′E′=OE′，
∴TG=AE′；

（3）①∵T（x，y），
∴AD′=x，TG=AE′=y，D′T=D′E′=OE′=6-y．
在Rt△AD′E′中，∵∠D′AE′=90°，
∴AD′²+AE′²=D′E′²，即x²+y²=（6-y）²，
整理，得y=-
1
12x²+3；

②结合（1）可得AD′=OG=2时，x最小，从而x≥2，
当E′F恰好平分∠OAB时，AD′最大即x最大，
此时G点与F点重合，四边形AOFD′为正方形，即x最大为6，从而x≤6，
故变量x的取值范围是2≤x≤6．