作业帮椭圆与曲线方程
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 16:03:45
椭圆与曲线方程
解题思路： 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题
解题过程：
（2014•重庆）如图，设椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2，
=2
，△DF1F2的面积为
．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．
考点：
直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有
专题：
圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：
（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|=
=
，|DF2|=
，从而可得2a=2
，于是可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆
+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，
由F1P1⊥F2P2，得x1=﹣
或x1=0，分类讨论即可求得圆的半径．
解答：
解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，
由
=2
，得|DF1|=
=
c，
从而
=
|DF1||F1F2|=
c2=，故c=1．
从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得
=
+
=
，
因此|DF2|=
，
所以2a=|DF1|+|DF2|=2
，故a=
，b2=a2﹣c2=1，
因此，所求椭圆的标准方程为
+y2=1；
（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，
y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，
由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以
=（x1+1，y1），
=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣
+
=0，
由椭圆方程得1﹣
=
，即3
+4x1=0，解得x1=﹣
或x1=0．
当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；
当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C．
由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2，又|CP1|=|CP2|，
故圆C的半径|CP1|=
|P1P2|=
|x1|=
．
点评：
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题．
解题过程：
（2014•重庆）如图，设椭圆
+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．
考点：
直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有
专题：
圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：
（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|=
=，|DF2|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆
+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由F1P1⊥F2P2，得x1=﹣
或x1=0，分类讨论即可求得圆的半径．解答：
解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，
由
=2，得|DF1|==c，从而
=|DF1||F1F2|=c2=，故c=1．从而|DF1|=
，由DF1⊥F1F2，得=+=，因此|DF2|=
，所以2a=|DF1|+|DF2|=2
，故a=，b2=a2﹣c2=1，因此，所求椭圆的标准方程为
+y2=1；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆
+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，
由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以
=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，由椭圆方程得1﹣
=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0．当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；
当x1=﹣
时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C．由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2，又|CP1|=|CP2|，
故圆C的半径|CP1|=
|P1P2|=|x1|=．点评：
本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题．