（2012•江苏三模）已知函数f（x）=x2+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/14 16:32:53

（2012•江苏三模）已知函数f（x）=x²+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．
（1）若x∈[-2，-1]，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；
（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；
（3）设函数g(x)＝

（1）因为f（x）≤f'（x），所以x²-2x+1≤2a（1-x），
又因为-2≤x≤-1，所以a≥
x2−2x+1
2(1−x)在x∈[-2，-1]时恒成立，
因为
x2−2x+1
2(1−x)＝
1−x
2≤
3
2，所以a≥
3
2．…（4分）
（2）因为f（x）=|f'（x）|，所以x²+2ax+1=2|x+a|，
所以（x+a）²-2|x+a|+1-a²=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1-a． …（7分）
①当a＜-1时，|x+a|=1-a，所以x=-1或x=1-2a；
②当-1≤a≤1时，|x+a|=1-a或|x+a|=1+a，所以x=±1或x=1-2a或x=-（1+2a）；
③当a＞1时，|x+a|=1+a，所以x=1或x=-（1+2a）．…（10分）
（3）因为f（x）-f'（x）=（x-1）[x-（1-2a）]，g(x)＝

f′(x)，f(x)≥f′(x)
f(x)，f(x)＜f′(x)
①若a≥−
1
2，则x∈[2，4]时，f（x）≥f'（x），所以g（x）=f'（x）=2x+2a，
从而g（x）的最小值为g（2）=2a+4； …（12分）
②若a＜−
3
2，则x∈[2，4]时，f（x）＜f'（x），所以g（x）=f（x）=x²+2ax+1，
当−2≤a＜−
3
2时，g（x）的最小值为g（2）=4a+5，
当-4＜a＜-2时，g（x）的最小值为g（-a）=1-a²，
当a≤-4时，g（x）的最小值为g（4）=8a+17．…（14分）
③若−
3
2≤a＜−
1
2，则x∈[2，4]时，g(x)＝

x2+2ax+1，x∈[2，1−2a)
2x+2a，x∈[1−2a，4]
当x∈[2，1-2a）时，g（x）最小值为g（2）=4a+5；
当x∈[1-2a，4]时，g（x）最小值为g（1-2a）=2-2a．
因为−

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