已知定点A（﹣3，0），MN分别为x轴、y轴上的动点（M、N不重合），且AN⊥MN，点P在直线MN上，．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 15:14:38

已知定点A（﹣3，0），MN分别为x轴、y轴上的动点（M、N不重合），且AN⊥MN，点P在直线MN上，

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设点Q是曲线x² +y² ﹣8x+15=0上任一点，试探究在轨迹C上是否存在点T？使得点T到点Q的距离最小，若存在，求出该最小距离和点T的坐标，若不存在，说明理由．

（1）设点M、N的坐标分别为（a，0），（0，b），（a≠0，b≠0），点P的坐标为（x，y），则

，

，
由AN⊥MN得3a﹣b² =0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（*）
由

得

∴

代入（*）得
y² =4x
∵a≠0，b≠0
∴x≠0，y≠0
∴动点P的轨迹C的方程为y² =4x（x≠0）
（2）曲线x² +y² ﹣8x+15=0，即（x﹣4）² +y² =1，是以B（4，0）为圆心，以1为半径的圆，
设 T为轨迹C上任意一点，连接TB，则
|TQ|+|QB|≥|TB|

|TQ|≥|TB|﹣1
∴当|TB|最小时，|TQ|最小．
∵点T在轨迹C上，
设点

（m≠0）
∴

当m² =8，即

时，|TB|有最小值，

当m² =8时，

∴在轨迹C上是存在点T，其坐标为

，使得|TQ|最小，

．

已知定点A（﹣3，0），MN分别为x轴、y轴上的动点（M、N不重合），且AN⊥MN，点P在直线MN上， ．