函数f（x）=ax2+2x+1，g（x）=lnx．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/18 14:00:54

函数f（x）=ax²+2x+1，g（x）=lnx．
（I）设F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的两个极值点的充要条件．
（II）求证：当a≥0时，不等式f（x）≥g（x）恒成立．

（I）函数f（x）=ax²+2x+1，g（x）=lnx，
∴F（x）=f（x）-g（x）=ax²+2x+1-lnx，
其定义域为（0，+∞）．
∴F‘(x)＝2ax+2−
1
x=
2ax2+2x−1
x，
∴F（x）有两个极值点，
∴方程2ax²+2x-1=0有两个不相等的正根，
∴

△＝4+8a＞0
x1+x2＝−
1
a＞0
x1•x2＝−
1
2a＞0，
解得−
1
2＜a＜0，
∴F（x）有两个极值点的充要条件是−
1
2＜a＜0．
（II）证明：不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要条件是：
F（x）=ax²+2x+1-lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，
即a≥
lnx−(2x+1)
x2在（0，+∞）上恒成立．
令h（x）=lnx-（2x+1），则h′(x)＝
1
x−2＝
1−2x
x，
当x∈(0，
1
2)时，h′（x）＞0，
当x∈(
1
2，+∞)时，h′（x）＜0．
∴x＝
1
2时，h（x）_max=ln
1
2−2＜0，
故x∈（0，+∞），都有
lnx−(2x+1)
x2＜0，
∴当a≥0时，a≥
lnx−(2x+1)
x2在（0，+∞）上恒成立，
即当a≥0时，不等式f（x）≥g（x）恒成立．

函数f（x）=ax2+2x+1，g（x）=lnx．已知函数f（x）=lnx+ax2-2bx（a，b∈R），g（x）=2x−2x+1-clnx．已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx．已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x．已知函数g（x）=（2-a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x）．已知函数f(x)=ax2+(a-2)x+1/a,(a＞0)与g(x)=lnx 已知函数f(x)=x-lnx,g(x)=lnx/x,求证f(x)>g(x)+1/2 已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．已知函数f（x）=x-ax2-lnx（a＞0）．已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx 已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx，a∈R 一百分数学题已知函数f(x)=lnx,g(x)=1/2ax2+bx(a不等于O)