已知定义在实数集上的函数y=f(x)满足条件:对于任意的x、y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/06 11:18:12
已知定义在实数集上的函数y=f(x)满足条件:对于任意的x、y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)
(1)f(0)=0
(2)f(x)是奇函数,试举出两个这样的函数
(3)若当x≥0时,f(x)<0,试判断函数f(x)在R上的单调性,并证明;
判断方程|f(x)|=a,所有可能的解的个数,并求出对应a的范围
注:1、2和3题第一小问我会做,请问第三题第2小问怎么做呢?
(1)f(0)=0
(2)f(x)是奇函数,试举出两个这样的函数
(3)若当x≥0时,f(x)<0,试判断函数f(x)在R上的单调性,并证明;
判断方程|f(x)|=a,所有可能的解的个数,并求出对应a的范围
注:1、2和3题第一小问我会做,请问第三题第2小问怎么做呢?
①设X=Y=0
则由已知f(0+0)=f(0)+f(0)
即f(0)=2f(0)
则f(0)=0
②Y=X(X∈R)y=-x(x∈R)
③设a、b满足x≥0且a>b,则
f(a)-f(b)=f(a)+f(-b)=f(a-b)
a-b>0则f(a-b)<0
即f(a)-f(b)<0,f(a)<f(b)
f(x)在定义域内为减函数.
∵f(-x)=-f(x)
|-f(x)|=f(-x)
即f(x)=f(-x),∴|f(x)|在R上为偶函数
设g(x)=a
有图像可得
当x≤0时,没有交点
当x=0时,有一个交点
当x>0时,有两个交点
则由已知f(0+0)=f(0)+f(0)
即f(0)=2f(0)
则f(0)=0
②Y=X(X∈R)y=-x(x∈R)
③设a、b满足x≥0且a>b,则
f(a)-f(b)=f(a)+f(-b)=f(a-b)
a-b>0则f(a-b)<0
即f(a)-f(b)<0,f(a)<f(b)
f(x)在定义域内为减函数.
∵f(-x)=-f(x)
|-f(x)|=f(-x)
即f(x)=f(-x),∴|f(x)|在R上为偶函数
设g(x)=a
有图像可得
当x≤0时,没有交点
当x=0时,有一个交点
当x>0时,有两个交点
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