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已知定义在R上的函数f(x)满足条件:对任意的x,y都有f(x)+f(y)=1+f(x+y);对所有的非零实数x,都有f

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/06 06:42:06
已知定义在R上的函数f(x)满足条件:对任意的x,y都有f(x)+f(y)=1+f(x+y);对所有的非零实数x,都有f(x)=xf(1/x).
1.求证:对任意实数x,f(x)+f(-x)=2
2.求函数f(x)的解析式.
第一问可以不用做,有高人可以回答的么,急.
f(x)+f(y)=1+f(x+y)
f(0)+f(0)=1+f(0+0)
f(0)=1
f(x)+f(-x)=1+f(x+(-x))=1+f(0)=2
f(x)+f(-x)=2
f(1/x)+f(-1/x)=2
f(-1/x)=2-f(1/x)
f(x)=xf(1/x)
f(-x)=-xf(-1/x)
f(x)+f(-x)=xf(1/x)-xf(-1/x)=2
x[f(1/x)-f(-1/x)]=2
x[f(1/x)-2+f(1/x)]=2
2f(1/x)-2=2/x
f(1/x)=1/x+1
f(x)=x+1