圆锥的内切球,半径为R,求圆锥的最小体积

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我不会往百度上传图片,所以有关图形的我给你描述一下吧(你根据我的描述把图画出来吧),希望能描述清楚.
这个问题实际上从侧面观察,投影到一个平面上就是一个等腰三角形的内切圆问题.
设等腰三角形为ABC,底为BC,即圆锥的底面圆直径,设圆在腰上的切点分别为D(在AB上)、E,在底边BC上的切点为F,
然后过A点做AG垂直于BC,垂足为G,易知圆心O在AG上,
连接OD,由内切圆我们知道OD垂直于AB,切OD=OG=R
设角BAC=2θ,所以角BAG=θ,所以θ范围为(0,90)
在直角三角形AOD中,角DAO=θ,OD=R,则OA=R/sinθ
所以,在三角形ABC中,高AG=R+R/sinθ(也就是圆锥的高)
在直角三角形AGB中,BAG=θ,所以BG=AG*tanθ=(R+R/sinθ)*tanθ
然后我们再回到圆锥中,圆锥的底面半径就是BG,设为r,所以r=(R+R/sinθ)*tanθ,圆锥的高为AG,设为h,所以h=R+R/sinθ,
圆锥的体积为
V=1/3*π*r^2*h
=1/3π*(R+R/sinθ)^3*(tanθ)^2
求最值问题用求导数的方法.
令f(我不会往百度上传图片,所以有关图形的我给你描述一下吧(你根据我的描述把图画出来吧),希望能描述清楚.
这个问题实际上从侧面观察,投影到一个平面上就是一个等腰三角形的内切圆问题.
设等腰三角形为ABC,底为BC,即圆锥的底面圆直径,设圆在腰上的切点分别为D(在AB上)、E,在底边BC上的切点为F,
然后过A点做AG垂直于BC,垂足为G,易知圆心O在AG上,
连接OD,由内切圆我们知道OD垂直于AB,切OD=OG=R
设角BAC=2θ,所以角BAG=θ,所以θ范围为(0,90)
在直角三角形AOD中,角DAO=θ,OD=R,则OA=R/sinθ
所以,在三角形ABC中,高AG=R+R/sinθ(也就是圆锥的高)
在直角三角形AGB中,BAG=θ,所以BG=AG*tanθ=(R+R/sinθ)*tanθ
然后我们再回到圆锥中,圆锥的底面半径就是BG,设为r,所以r=(R+R/sinθ)*tanθ,圆锥的高为AG,设为h,所以h=R+R/sinθ,
圆锥的体积为
V=1/3*π*r^2*h
=1/3π*(R+R/sinθ)^3*(tanθ)^2
=1/3π*R^3*(1+1/sinθ)^3*(tanθ)^2
令f(θ)=(1+1/sinθ)^3*(tanθ)^2(求导于常数部分无关,所以只取有未知数的部分)
所以
f'(θ)=3*(1+1/sinθ)^2*(tanθ)^2*[-cosθ/(sinθ)^2]+2*(1+1/sinθ)^3*tanθ*[1+(tanθ)^2]
令f'(θ)=0
化简整理得3*(sinθ)^2+2*sinθ-1=0
求得 sinθ=1/3 或sinθ=-1(舍去)
因为θ在0到90度之间,所以tanθ=√2/4
代入体积的式子,可知,最小体积为
Vm=1/3*π*R^3*(1+3)^3*(1/8)
=8/3*π*R^3