操作：如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 12:23:11

操作：如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN.探究：线段BM、MN、NC之间的关系,并加以说明.说明：⑴如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索的过程中的某种思路写出来（要求至少写3步)；⑵在你经历说明⑴的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明.①AN＝NC(如图②）②DM‖AC(如图③）.附加题：若点M、N分别是射线AB、CA上的点,其他条件不变,再探线段BM、MN、NC之间的关系,在图④中画出图形,并说明理由.

MN=BM+CN.证明见图片：

\x0d\x0d\x0d在∠MDN范围过D作线段DH,使得∠HDM=∠BDM且DH=DB.连接MH、NH\x0d1) 由于BD=CD,∠BDC=120°可知∠DBM=∠DCN=90°\x0d\x0d2) 易证△HDM≌△BDM（SAS）,于是HM=BM,∠DHM=∠DBM=90°\x0d\x0d3) 因为∠BDC=120°,∠MDN=60°,所以∠BDM+∠CDN=∠BDC-∠MDN=60°.于是∠HDN=∠MDN-∠HDM=60°-∠BDM=∠CDN\x0d\x0d4) 结合DH=DB=DC、DN公共可知△HDN≌△CDN（SAS）,于是HN=CN,∠DHN=∠DCN=90°\x0d\x0d5) 由∠MHN=∠DHM+∠DHN=90°+90°=180°可知H在线段MN上.于是MN=HM+HN=BM+CN\x0d\x0d证毕