作业帮求证：存在无限多个自然数n ,满足2的n 次方与2的和是n 的倍数
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 02:37:54
求证：存在无限多个自然数n ,满足2的n 次方与2的和是n 的倍数
首先,若m|n,则2^m+1|2^n+1. (m、n均为奇数)
这是因为：设n=km (k为奇数),则(2^(km)+1)/(2^m+1)=2^((k-1)m)-2^((k-2)m)+...-2^m+1.
先证：若n|2^n+2, n-1|2^n+1,则对于m=2^n+2,有：m|2^m+2, m-1|2^m+1.
m-1|2^m+1等价于2^n+1|2^(2^n+2)+1.
因为n|2^n+1,所以由上述引理知2^n+1|2^(2^n+2)+1成立；
m|2^m+2等价于2^n+2|2^(2^n+2)+2等价于2^(n-1)+1|2^(2^n+1)+1.
因为n-1|2^n+1,所以2^(n-1)+1|2^(2^n+1)+1成立.
因为对于n=2,2|2^2+2, 1|2^2+1成立,
则n=2^2+2=6, 2^6+2=66, 2^66+2.均满足n|2^n+2. 有无穷多个.
这是因为：设n=km (k为奇数),则(2^(km)+1)/(2^m+1)=2^((k-1)m)-2^((k-2)m)+...-2^m+1.
先证：若n|2^n+2, n-1|2^n+1,则对于m=2^n+2,有：m|2^m+2, m-1|2^m+1.
m-1|2^m+1等价于2^n+1|2^(2^n+2)+1.
因为n|2^n+1,所以由上述引理知2^n+1|2^(2^n+2)+1成立；
m|2^m+2等价于2^n+2|2^(2^n+2)+2等价于2^(n-1)+1|2^(2^n+1)+1.
因为n-1|2^n+1,所以2^(n-1)+1|2^(2^n+1)+1成立.
因为对于n=2,2|2^2+2, 1|2^2+1成立,
则n=2^2+2=6, 2^6+2=66, 2^66+2.均满足n|2^n+2. 有无穷多个.
求证：存在无限多个自然数n ,满足2的n 次方与2的和是n 的倍数
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