已知抛物线y ax2+bx+c经过点A（-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线L是抛物线的对称轴.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/05 05:58:51

已知抛物线y ax2+bx+c经过点A（-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线L是抛物线的对称轴.
1：求抛物线的函数关系式; 2:设P点是直线L上一点,当三角形设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在,请说明理由．

答：
（1）把A(-1,0),B（3,0）,C（0,3）代入抛物线方程得：
a-b+c=0
9a+3b+c=0
0+0+c=3
解得方程组为：a=-1,b=2,c=3
所以抛物线方程为：y=-x^2+2x+3
（2）y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4,抛物线方程的对称轴x=1,设点P为（1,p）
因为对称轴垂直平分AB,所以：PA=PB.
△PAC的周长=AC+PC+PA=AC+PC+PB
其中AC=√[(-1-0)^2+(0-3)^2]=√10
当点B、P和C三点共线时,PC+PB存在最小值：(PC+PB)min=BC=√[(3-0)^2+(0-3)^2]=3√2
直线BC：y=-x+3,点P在直线BC上：p=-1+3=2
所以点P为（1,2）,此时△PAC的周长最小值为√10+3√2.
（3）存在.设对称轴上的点M为（1,m）,AC=√10,△MAC为等腰三角形：
3.1）当AC=MC时：√10=√[(1-0)^2+(m-3)^2],解得m=0（m=6使得MAC三点共线,舍弃）；
3.2）当AC=MA时：√10=√[(1+1)^2+(m-0)^2],解得m=-√6或者m=√6；
3.3）当MC=MA时：√[1+(m-3)^2]=√(4+m^2),解得m=-3/7.
综上所述,点M为（1,0）或者（1,-√6）或者（1,√6）或者（1,-3/7）.