12+22+32+42+……+n2=n+(n+1)(2n+1)/6为什么?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/09 12:39:19
12+22+32+42+……+n2=n+(n+1)(2n+1)/6为什么?
怎么证明啊
怎么证明啊
1^2+2^2+3^2+4^2+.n^2=?
利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到:
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得:
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得:
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得:
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
有个更有趣的证法:
将1^2+2^2+3^3+…+n^2这些数排成三角形的样子:
1
2 2
3 3 3
…………………………
n n ……………………… n n
在这里第n行的和即为n^2.
将三角形分别向左向右旋转120°得到两个新的三角形:
n
n n-1
n n-1 n-2
………………………………
n n-1 …………………………… 2 1
n
n-1 n
n-2 n-1 n
………………………………
1 2 …………………………… n-1 n
将以上三角形同位置的三个数分别相加,得:
2n+1
2n+1 2n+1
2n+1 2n+1 2n+1
……………………………………
2n+1 2n+1 ………………………… 2n+1 2n+1
前三个三角形的和都为1^2+2^2+3^3+…+n^2,最后一个三角形每个数相同,
并且共有n(n+1)/2项,于是和为:n(n+1)/2*(2n+1),有因为是前三
个三角形相加得到,所以:
3(1^2+2^2+3^3+…+n^2)=n(n+1)/2*(2n+1)
即1^2+2^2+3^3+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6.
利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到:
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得:
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得:
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得:
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
有个更有趣的证法:
将1^2+2^2+3^3+…+n^2这些数排成三角形的样子:
1
2 2
3 3 3
…………………………
n n ……………………… n n
在这里第n行的和即为n^2.
将三角形分别向左向右旋转120°得到两个新的三角形:
n
n n-1
n n-1 n-2
………………………………
n n-1 …………………………… 2 1
n
n-1 n
n-2 n-1 n
………………………………
1 2 …………………………… n-1 n
将以上三角形同位置的三个数分别相加,得:
2n+1
2n+1 2n+1
2n+1 2n+1 2n+1
……………………………………
2n+1 2n+1 ………………………… 2n+1 2n+1
前三个三角形的和都为1^2+2^2+3^3+…+n^2,最后一个三角形每个数相同,
并且共有n(n+1)/2项,于是和为:n(n+1)/2*(2n+1),有因为是前三
个三角形相加得到,所以:
3(1^2+2^2+3^3+…+n^2)=n(n+1)/2*(2n+1)
即1^2+2^2+3^3+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6.
12+22+32+42+……+n2=n+(n+1)(2n+1)/6为什么?
证明:12+22+32+……+n2=1/6n(n+1)(2n+1)
12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
请问如何证明lim(n→∞)[n/(n2+n)+n/(n2+2n)+…+n/(n2+nn)]=1,
大一求极限lim(n/(n2+1)+n/(n2+2^2)+……+n/(n2+n2))
已知12+22+32+….n2=(1/6)n(n+1)(2n+1),试求22+42+62….+502的值(写过程)
已知:12+22+32+…+n2=1/6n(n+1)(2n+1),试求22+42+62+…+1002
计算:12-22+32-42+52-62+…+n2-(n+1)2=________.(n属于奇数)
12+22+32+42……+(n-1)2+n2=?是平方,一的平方加二的平方一直加到n方
求极限lim((n+1)/(n2+1)+(n+2)/(n2+2)+...+(n+n)/(n2+n)),n趋近无穷
证明1/n+1/(n+1)+1/(n+2) +……+1/n2>1
求证c(n,1)+2c(n,2)+3c(n,3)+...+nc(n,n)=n2^(n-1)