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已知函数f(x)=ax+blnx+c(abc为常数)在x=e处的切线方程为(e-1)x+ey-e=0

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 09:49:36
已知函数f(x)=ax+blnx+c(abc为常数)在x=e处的切线方程为(e-1)x+ey-e=0
【接上】x=1即是函数f(x)的零点,又是它的极值点
(1)求a ,b,c 的值
(2)求函数h(x)=f(x)-1的单调递减区间
(3)证明:ln2/2 * ln3/3 * ln4/4 *.ln2012/2012小于1/2012
(1)求导得f‘(x)=a+b/x
由f(1)=f'(1)=0得b=c=-a
所以f'(x)=a(1-1/x)
再由题意得f(x)在x=e处的切线斜率为1-e/e.
由f’(e)=1-e/e得a=-1
所以b=c=1
(2)由(1)得f(x)=-x+inx+1
所以h(x)=-x+inx
所以h‘(x)=-1+1/x=1-x/x
令h'(x)<0得x>1
所以函数的单调递减区间是(1,﹢∞)
(3)由(2)得h(x)在(0,1)上为增函数,在(1,﹢∞)为减函数.
因此h(x)≤h(1)=-1
即x-1≤Inx
所以ln2/2 * ln3/3 * ln4/4 *.ln2012/2012<ln2/In3 * ln3/In4 * ln4/4 *.ln2012/2012=In2/2012
<1/2012
所以不等式得证.