作业帮200分,矩阵定理证明.关于矩阵乘积的秩 零空间 列空间的证明
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/11 02:37:52
200分,矩阵定理证明.关于矩阵乘积的秩 零空间 列空间的证明
证明图片上的几个定理,不理解我就记不住,假如满意我还会追加.假如不是都会,证明其中的一两个就行,我也会给分的 谢谢啦
1
证明r(AA^T)=r(ATA)=r(A)
因为Ax=0,可以推出ATAx=AT(Ax)=0
而且ATAx=0,x^TATAx=x^T(ATAx)=0,
即(Ax)^TAx=x^TATAx=0
所以必然有Ax=0
所以Ax=0ATAx=0
即Ax=0和ATAx=0通解
所以
N(A)=N(A^TA),
r(A)=r(A^TA)
同理可得
N(A^T)=N(AA^T),
r(A^T)=r(AA^T)
且AA^T和A^TA互为转置.
所以r(AA^T)=r(ATA)=r(A)
2
证明r(AB)=p-r(B)
所以r(AB)
再问： N（A）是A的零空间
R（A）是A的列空间
再答： 最后那个应该是>=吧，我感觉。
N(A)是不是表示满足Ax=0的x组成的空间？？
再问： 对
再答： 最后一个想不太明白。sorry，证明的是r(AB)>=r(B)-dimN(A)∩R(B)
证明r(AA^T)=r(ATA)=r(A)
因为Ax=0,可以推出ATAx=AT(Ax)=0
而且ATAx=0,x^TATAx=x^T(ATAx)=0,
即(Ax)^TAx=x^TATAx=0
所以必然有Ax=0
所以Ax=0ATAx=0
即Ax=0和ATAx=0通解
所以
N(A)=N(A^TA),
r(A)=r(A^TA)
同理可得
N(A^T)=N(AA^T),
r(A^T)=r(AA^T)
且AA^T和A^TA互为转置.
所以r(AA^T)=r(ATA)=r(A)
2
证明r(AB)=p-r(B)
所以r(AB)
再问： N（A）是A的零空间
R（A）是A的列空间
再答： 最后那个应该是>=吧，我感觉。
N(A)是不是表示满足Ax=0的x组成的空间？？
再问： 对
再答： 最后一个想不太明白。sorry，证明的是r(AB)>=r(B)-dimN(A)∩R(B)
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