作业帮已知椭圆的中心在原点O,焦点在x轴上,过其右焦点F做斜率为1的直线l,交椭圆于A、B两点,若椭圆上存在一点
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/28 21:27:56
已知椭圆的中心在原点O,焦点在x轴上,过其右焦点F做斜率为1的直线l,交椭圆于A、B两点,若椭圆上存在一点
若椭圆上存在一点C,是四边形OACB为平行四边形.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若△OAC的面积为15√5,求这个椭圆的方程.
若椭圆上存在一点C,是四边形OACB为平行四边形.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若△OAC的面积为15√5,求这个椭圆的方程.
⑴设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)
设C（acosθ,bsinθ）,则OC中点M为（0.5acosθ,0.5bsinθ)
设A、B坐标分别为（x1,y1)、(x2,y2),直线AB斜率为k代入到椭圆方程中,得：
x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
两式相减,得：k=(y1-y2)/(x1-x2)=-(b/a)^2×（x1+x2)/(y1+y2)=1
又M也是AB中点,所以 （x1+x2)/(y1+y2)=0.5acosθ/0.5bsinθ
即bsinθ/acosθ=-(b/a)^2 化简得：
bcosθ＋asinθ＝0 ……①
同时MF的斜率为1,所以0.5bsinθ/(0.5acosθ-c)=1 化简得：
acosθ－bsinθ＝2c ……②
①②式平方相加,得：a^2+b^2=4c^2 ,又a^2-c^2=b^2
∴e=c/a=√10/5
⑵S△OAC=1/2S平行四边形OACB=S△OAB=15√5
利用椭圆焦点弦长公式AB＝2ab^2/(a^2-c^2cos^α) α是直线AB的倾斜角
这里,cos^α=1/2 ,所以AB＝4ab^2/(2a^2-c^2)
又O到直线AB的距离d=c/√2 且S△OAB=15√5＝1/2AB×d
将以上各式代入,化简得：a^2=100,b^2=60
∴椭圆的方程为x^2/100+y^2/60=1
顺便给你证明一边椭圆的焦点弦长公式吧：
设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)
过焦点F1的直线AB交椭圆于AB两点,倾斜角为α.
另一个焦点为F2,连接AF2与BF2 设AF1＝m,BF1=n
则,根据椭圆定义,AF2＝2a－m ,BF2＝2a－n
在三角形AF1F2中,由余弦定理得
（2a－m)^2=m^2+(2c)^2-2m(2c)cosα
化简得：m=b^2/(a-c*cosα)
同理,再用一次余弦定理,可得n=b^2/(a+c*cosα)
所以AB＝m＋n＝2ab^2/(a^2-c^2cos^α)
设C（acosθ,bsinθ）,则OC中点M为（0.5acosθ,0.5bsinθ)
设A、B坐标分别为（x1,y1)、(x2,y2),直线AB斜率为k代入到椭圆方程中,得：
x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
两式相减,得：k=(y1-y2)/(x1-x2)=-(b/a)^2×（x1+x2)/(y1+y2)=1
又M也是AB中点,所以 （x1+x2)/(y1+y2)=0.5acosθ/0.5bsinθ
即bsinθ/acosθ=-(b/a)^2 化简得：
bcosθ＋asinθ＝0 ……①
同时MF的斜率为1,所以0.5bsinθ/(0.5acosθ-c)=1 化简得：
acosθ－bsinθ＝2c ……②
①②式平方相加,得：a^2+b^2=4c^2 ,又a^2-c^2=b^2
∴e=c/a=√10/5
⑵S△OAC=1/2S平行四边形OACB=S△OAB=15√5
利用椭圆焦点弦长公式AB＝2ab^2/(a^2-c^2cos^α) α是直线AB的倾斜角
这里,cos^α=1/2 ,所以AB＝4ab^2/(2a^2-c^2)
又O到直线AB的距离d=c/√2 且S△OAB=15√5＝1/2AB×d
将以上各式代入,化简得：a^2=100,b^2=60
∴椭圆的方程为x^2/100+y^2/60=1
顺便给你证明一边椭圆的焦点弦长公式吧：
设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)
过焦点F1的直线AB交椭圆于AB两点,倾斜角为α.
另一个焦点为F2,连接AF2与BF2 设AF1＝m,BF1=n
则,根据椭圆定义,AF2＝2a－m ,BF2＝2a－n
在三角形AF1F2中,由余弦定理得
（2a－m)^2=m^2+(2c)^2-2m(2c)cosα
化简得：m=b^2/(a-c*cosα)
同理,再用一次余弦定理,可得n=b^2/(a+c*cosα)
所以AB＝m＋n＝2ab^2/(a^2-c^2cos^α)
已知椭圆的中心在原点O,焦点在x轴上,过其右焦点F做斜率为1的直线l,交椭圆于A、B两点,若椭圆上存在一点
已知椭圆的中心在原点O,焦点在X轴上,过其右交点F作斜率为1的直线L,交椭圆于A、B两点,若椭圆上存在一点
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,过他的右焦点作斜率为1的直线l交椭圆于A、B两点,若椭圆上存在一点C,使OA向量加O
椭圆和向量中的定值已知椭圆的中心为坐标原点O.焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A.B两点,OA向量+
已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在X轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A,B两点,向量OA+OB与向量a=(
【椭圆直线】椭圆的中心在原点,焦点在X轴上,过右焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A,B.若椭圆是存在点C,是%...
已知椭圆中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A,B两点.向量OA+向量OB与向量a(3,
如图,椭圆的中心在原点,焦点在X轴上,过右焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A,B.若椭圆是存在点C,是%C
1.已知椭圆的中心为坐标原点0,焦点在X轴上,斜率为t且过椭圆右焦点P2的直线交椭圆于A,B两点.向量OA＋向量OB于向
已知椭圆中心为坐标原点焦点在x轴上,斜率为1且过右焦点F的直线交椭圆于AB两点,向量OA+向量OB与向量a=（3,-1）
已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,过其右焦点F作倾斜角为π/4的直线,交椭圆于P、Q两点,若OP⊥OQ,求此椭圆的离心率
一道圆锥曲线的题椭圆在X轴上,过椭圆的右焦点F作斜率为1的直线l,交椭圆于A,B两点,M为线段AB的中点,射线OM交椭圆