已知一条斜率为k的直线l,与椭圆x^2 /3+y^2=1交于两个不同的点M,N,且M,N到点A(0,-1)的距离相等,求

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 10:14:12

已知一条斜率为k的直线l,与椭圆x^2 /3+y^2=1交于两个不同的点M,N,且M,N到点A(0,-1)的距离相等,求k的取值范围,简答一点就好,但要正确

思路：以A为圆心,画圆,半径由小变大.
①一开始只有两个交点,这两个交点的连线平行于x轴,所以斜率为0；
②随着半径变大,需要进行判断,圆先碰到(0,1)点,还是(±√3,0)
用两点间距离公式就可求,所以A到这3点距离都等于2,所以同时接触
此时斜率除了水平的直线,还有(0,1)和(±√3,0)的连线,所以斜率为±√3/3；
③随着半径再增大,出现4个交点,分别连接个点形成6条直线,除了2条斜率为0的直线,还有2条在椭圆内交叉的直线,他们随着半径增大而分别从±√3/3趋向0,最后2条在外侧交叉的直线,他们随着半径的增大而分别从±√3/3增大；
④随着半径再增大,圆与椭圆相切与2点,这两点可求,分别为(±1.5,0.5),切线斜率为±1
⑤半径增大,无交点
所以答案为（-1,1）
再问：这是椭圆的题怎么可能这么做呢，要用伟大定理，你们还有会的么，等5分钟
再答：这个是椭圆的题，所以才这样做，因为可以画出图来，我的方法是用于速算，如果你要解答题的格式，我可以给你写出来，不过5分钟时间肯定不够
再问：大约多长时间，10分钟》？
再答：我现在给你做吧，不过时间不一定
再问：可以不用作数，说说你的列式思路，好不好
再答：椭圆与x轴、y轴分别交于A(0,-1) ∵L与椭圆相交的两点到A的距离相等 ∴此两点所构成的线段的垂直平分线过A点联立y=kx+b和x²+3y²=3 则3=x²+3(kx+b)²=(1+3k²)x²+6kbx+3b²，即(1+3k²)x²+6kbx+3(b²-1)=0 设两交点分别为(x1,y1),(x2,y2) 则x1+x2=-6kb/(1+3k²)，x1x2=3(b²-1)/(1+3k²) 则y1+y2=(kx1+b)+(kx2+b)=k(x1+x2)+2b=-6k²b/(1+3k²)+2b=2b/(1+3k²) ∵存在2个交点 ∴判别式△=36k²b²-12b²-36k²b²+12+36k²=36k²-12b²+12>0 ∴3k²-b²+1>0 两交点的中点坐标为(-3kb/(1+3k²),b/(1+3k²)) ∵垂直平分线垂直与L，∴斜率为-1/k 又∵垂直平分线过A点，∴方程为y-(-1)=-1/k×(x-0)，即y=-(1/k)x-1 又∵中点在垂直平分线上 ∴b/(1+3k²)=-(1/k)[-3kb/(1+3k²)]-1 整理得：3k²-2b+1=0 ∴b=(3k²+1)/2 代入判别式的结论3k²-b²+1>0 得：3k²-(3k²+1)²/4+1>0，即3k⁴-2k²-1

已知一条斜率为k的直线l,与椭圆x^2 /3+y^2=1交于两个不同的点M,N,且M,N到点A(0,-1)的距离相等,求直线斜率与椭圆,斜率为k（不为零）的直线与椭圆x方除3加y方等于1交于不同点m.n,且m.n与（0.1）距离相等,求k的若存在一条斜率为k的直线L与椭圆x^2+y^2/9=1交于不同两点M,N.且线段MN的中... 已知椭圆x^2/5+y^2/3=m^2/2,过右焦点且斜率为1的直线交椭圆与A,B,M为AB中点,射线OM交椭圆与N点如果过点（0,1）斜率为k的直线L与圆x^2+y^2+kx+my-4=0交于M、N两点,且M、N关于直线x+y=0对称, 椭圆X^2 / 4 + Y^2 =1 直线L斜率为k且经过M(0,2)的直线与椭圆交于A,B两点 ,角AOB为锐角,求k 已知过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆c：（x-2)^2+(y-3）^2=1,相交于M,N两点.1.求实数k的取值若过点P(1,1)且斜率为k的直线与椭圆C:x^2/3+y^2/2=1交于M、N点,求实数k的取值范围若过点P(1,1)且斜率为k的直线与椭圆C:x^2/3+y^2=1交于M、N点,求实数k的取值范围已知过点A（0,1）且斜率为k的直线l与圆c：（x-2）+（y-3）=1相交于M、N两点 1）求实数k取值范围.2)求证已知椭圆y2/9+x2=1,一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的点M、N,且线段NM的中点的横坐标为-1/2,求直已知点A（0,1）;斜率为k的直线L,与圆C：（x-2）^2+(y-3)^2=1相交于M、N两个不同点.1）求实数k取值