作业帮请教一道数列极限的问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/03 08:57:36
请教一道数列极限的问题
如果数列{Xn}有界,而Yn→0（n→∞）,试问是否必有Xn*Yn→0（n→∞）?如何判断的?
如果数列{Xn}有界,而Yn→0（n→∞）,试问是否必有Xn*Yn→0（n→∞）?如何判断的?
必有Xn*Yn→0成立
证明如下：
因为数列{Xn}有界,所以设|xn|≤M
即-M|≤xn≤M
于是-Myn≤xnyn≤M
于是lin(-Myn)≤limxnyn≤limMyn
即0≤limxnyn≤0
所以limxnyn=0
也可从理论上来证明：
因为Yn→0
由于Xn有界,所以存在正实数a,使得|Xn|≤a恒成立
则|XnYn|≤a|Yn|
由lim(n-∞)Yn=0知道,
对于任意小的正数ξ＞0,都存在实数N,使得n＞N时
|Yn-0|＜ξ/a,（注意：ξ是任意小的,ξ/a还是任意小的,取不取ξ/a这没有 关系的,这主要是为了表
达式好看）
即|XnYn-0|=|XnYn|≤a|Yn|＜ aξ/a=ξ恒成立
所以lim(n-∞)XnYn=0
（不取ξ/a的话,是这样来说明：即|XnYn-0|=|XnYn|≤a|Yn|＜ aξ
aξ还是任意小的正数,所以所以lim(n-∞)XnYn=0）
证明如下：
因为数列{Xn}有界,所以设|xn|≤M
即-M|≤xn≤M
于是-Myn≤xnyn≤M
于是lin(-Myn)≤limxnyn≤limMyn
即0≤limxnyn≤0
所以limxnyn=0
也可从理论上来证明：
因为Yn→0
由于Xn有界,所以存在正实数a,使得|Xn|≤a恒成立
则|XnYn|≤a|Yn|
由lim(n-∞)Yn=0知道,
对于任意小的正数ξ＞0,都存在实数N,使得n＞N时
|Yn-0|＜ξ/a,（注意：ξ是任意小的,ξ/a还是任意小的,取不取ξ/a这没有 关系的,这主要是为了表
达式好看）
即|XnYn-0|=|XnYn|≤a|Yn|＜ aξ/a=ξ恒成立
所以lim(n-∞)XnYn=0
（不取ξ/a的话,是这样来说明：即|XnYn-0|=|XnYn|≤a|Yn|＜ aξ
aξ还是任意小的正数,所以所以lim(n-∞)XnYn=0）