作业帮请教一道数列极限的证明题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/03 06:32:20
请教一道数列极限的证明题
设a>0,已知数列（Xn)定义如下：
Xo>0,Xn+1=(1/2)*(Xn+(a/Xn)) (n=0,1,2····）.求n-无穷大时,limXn
设a>0,已知数列（Xn)定义如下：
Xo>0,Xn+1=(1/2)*(Xn+(a/Xn)) (n=0,1,2····）.求n-无穷大时,limXn
由于X[0]>0,a>0以及X[n+1]=(X[n]+a/X[n])/2,n=0,1,2,...可知{X[n]}是正项数列.
又因为X[n+1]=(X[n]+a/X[n])/2≥2√(X[n]*a/X[n])/2=√a, n=0,1,2,...
此式表明{X[n]}从X[1]以后都大于等于√a, 也就说数列{X[n]}有下界,
对于n≥1,由X[n]≥√a,所以X[n+1]/X[n]=(1+a/X[n]^2)/2≤1,也就是{X[n]}从X[1]以后递减.
单调下降有下界数列必有极限,
所以lim{n-->∞}X[n]存在,设为t
对Xn+1=(1/2)*(Xn+(a/Xn))两边取极限即得：
t=(t+a/t)/2
解得t=√a.
又因为X[n+1]=(X[n]+a/X[n])/2≥2√(X[n]*a/X[n])/2=√a, n=0,1,2,...
此式表明{X[n]}从X[1]以后都大于等于√a, 也就说数列{X[n]}有下界,
对于n≥1,由X[n]≥√a,所以X[n+1]/X[n]=(1+a/X[n]^2)/2≤1,也就是{X[n]}从X[1]以后递减.
单调下降有下界数列必有极限,
所以lim{n-->∞}X[n]存在,设为t
对Xn+1=(1/2)*(Xn+(a/Xn))两边取极限即得：
t=(t+a/t)/2
解得t=√a.