a的a次方b的b次方c的c次方大于等于abc的三分之a加b加c次方,如何证明?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/20 02:08:47
a的a次方b的b次方c的c次方大于等于abc的三分之a加b加c次方,如何证明?
条件不足,应限制为:a、b、c都是正数.
证明如下:
1、如果a>b,那么:a-b>0,且(a/b)>1,
∴此时(a/b)^(a-b)>1.
2、如果a=b,那么:a-b=0,且(a/b)=1,
∴此时(a/b)^(a-b)=1.
3、如果a<b,那么:b-a>0,且(b/a)>1,
∴此时(a/b)^(a-b)=[(b/a)^(-1)]^[-(b-a)]=(b/a)^(b-a)>1.
∴无论a、b的大小如何,都有:(a/b)^(a-b)≥1,∴[(a/b)^a]/[(a/b)^b]≥1,
∴(a/b)^a≥(a/b)^b,∴a^a/b^a≥a^b/b^b,∴a^a×b^b≥a^b×b^a.
同理,有:a^a×c^c≥a^c×c^a, c^c×b^b≥c^b×b^c.
∴(a^a×b^b)(a^a×c^c)(c^c×b^b)≥(a^b×b^a)(a^c×c^a)(c^b×b^c),
∴(a^a×b^b×c^c)^2≥a^(b+c)×b^(a+c)×c^(a+b),
∴(a^a×b^b×c^c)^3≥a^(a+b+c)×b^(a+b+c)×c^(a+b+c)=(abc)^(a+b+c)
∴a^a×b^b×c^c≥√[(abc)^(a+b+c)]=(abc)^[(a+b+c)/3].
即:a^a×b^b×c^c≥(abc)^[(a+b+c)/3].
证明如下:
1、如果a>b,那么:a-b>0,且(a/b)>1,
∴此时(a/b)^(a-b)>1.
2、如果a=b,那么:a-b=0,且(a/b)=1,
∴此时(a/b)^(a-b)=1.
3、如果a<b,那么:b-a>0,且(b/a)>1,
∴此时(a/b)^(a-b)=[(b/a)^(-1)]^[-(b-a)]=(b/a)^(b-a)>1.
∴无论a、b的大小如何,都有:(a/b)^(a-b)≥1,∴[(a/b)^a]/[(a/b)^b]≥1,
∴(a/b)^a≥(a/b)^b,∴a^a/b^a≥a^b/b^b,∴a^a×b^b≥a^b×b^a.
同理,有:a^a×c^c≥a^c×c^a, c^c×b^b≥c^b×b^c.
∴(a^a×b^b)(a^a×c^c)(c^c×b^b)≥(a^b×b^a)(a^c×c^a)(c^b×b^c),
∴(a^a×b^b×c^c)^2≥a^(b+c)×b^(a+c)×c^(a+b),
∴(a^a×b^b×c^c)^3≥a^(a+b+c)×b^(a+b+c)×c^(a+b+c)=(abc)^(a+b+c)
∴a^a×b^b×c^c≥√[(abc)^(a+b+c)]=(abc)^[(a+b+c)/3].
即:a^a×b^b×c^c≥(abc)^[(a+b+c)/3].
a的a次方b的b次方c的c次方大于等于abc的三分之a加b加c次方,如何证明?
证明 a的4次方+b的4次方+c的4次方 大于等于 abc(a+b+c)
一道数学证明题.求证a的a次方乘b的b次方乘c的c次方大于(abc)的(a+b+c)/3次方
a的b次方÷a的c次方=a的b-c次方 证明
a的b次方加a的c次方等于?有没有什么公式啊?
证明:(a+b)的p次方(p>1)大于等于a的p次方加b的p次方
已知实数a、b、c满足绝对值a加1加(b减五)的2次方加(25c的2次方加10c加1)等于0求(abc)的251次方(a
已知2的a次方等于3,2的b次方等于6,2的c次方等于12,试说明:2b等于a加c.
A的4次方加B的4次方大于等于A的3次方B加AB的3次方怎么证明
若c的n次方等于a的 n次方加b 的n 次方则 是什么 三角形?(n是大于2的 自然数)
证明:a的3次方+b的三次方+c的三次方大于等于3abc?怎么证明啊?
不等式证明:当a>b>c>0时,求证:a的2a次方*b的2b次方*c的2c次方>a的b+c次方*b的c+a次方*c的a+