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设数列{an}前n项和Sn,且a1=1,Sn=4a(n-1)+2(n≥2)

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/24 11:37:52
设数列{an}前n项和Sn,且a1=1,Sn=4a(n-1)+2(n≥2)
(1)设bn=a(n+1)-2an,求证{bn}是等比数列
(2)设cn=an/2^n,求证{cn}是等差数列
注:n+1,n-1为下标.
1、a1=1,Sn=4a(n-1)+2
S(n-1)=4a(n-2)+2
an=4[a(n-1)-a(n-2)]
an-2a(n-1)=2*[a(n-1)-2a(n-2)]
[an-2a(n-1)]/[a(n-1)-2a(n-2)]=2
所以bn/b(n-1)=[a(n+1)-2an]/[an-2a(n-1)]=2
{bn}是等比数列
2、cn=an/2^n
cn-c(n-1)=an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=an-2a(n-1)/2^n
因为:[an-2a(n-1)]/[a(n-1)-2a(n-2)]=2
所以:b(n-1)=an-2a(n-1)=b1*2^(n-2)
b1=a2-2a1=5-2=3
所以:cn-c(n-1)=an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=an-2a(n-1)/2^n=3*2^(n-2)/2^n=3/4
所以:
{cn}是等差数列