线性代数:对应不同特征值的特征向量正交的矩阵满足什么条件?实对称阵还是什么?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/12 16:51:21
线性代数:对应不同特征值的特征向量正交的矩阵满足什么条件?实对称阵还是什么?
正规矩阵A满足:
1.A' * A = A * A'
2.A合同于对角矩阵,即存在酉阵Q使得:Q' * A * Q = D,Q' * Q = E(单位阵)
P.S:实对称也好,正交阵也好,都是实域中的正规矩阵.
再问: 哦哦,谢谢你的耐心解答。我可能没说清问题。我想问:假如一个矩阵A的对应其不同特征值的特征向量相互正交,则A是个什么类型的矩阵一定是个实对称阵吗?or是什么其它类型的矩阵?
再答: A只是一般的方阵。 比如3阶矩阵:A = [1 1 0 0 1 0 0 0 2]; 1. 特征值为1的有2个,且v1 = [1 0 0]^t为其对应的右特征向量; 2. 特征值为2的有1个,且v2 = [0 0 1]^t为其对应的右特征向量; 3. 很明显v1和v2是正交的,但A是一个秩亏矩阵(Defective Matrix); 4. 虽然A看上去是上三角阵,不过你可以对A进行正交变换:Q * A * Q' = B,得到的方阵B也是秩亏矩阵,且对应1和2的右特征向量分别为q1 = Q*v1,q2 = Q*v2,q1和q2也是正交的。 综上所述,具有已知条件的矩阵不具备任何特殊性质。
1.A' * A = A * A'
2.A合同于对角矩阵,即存在酉阵Q使得:Q' * A * Q = D,Q' * Q = E(单位阵)
P.S:实对称也好,正交阵也好,都是实域中的正规矩阵.
再问: 哦哦,谢谢你的耐心解答。我可能没说清问题。我想问:假如一个矩阵A的对应其不同特征值的特征向量相互正交,则A是个什么类型的矩阵一定是个实对称阵吗?or是什么其它类型的矩阵?
再答: A只是一般的方阵。 比如3阶矩阵:A = [1 1 0 0 1 0 0 0 2]; 1. 特征值为1的有2个,且v1 = [1 0 0]^t为其对应的右特征向量; 2. 特征值为2的有1个,且v2 = [0 0 1]^t为其对应的右特征向量; 3. 很明显v1和v2是正交的,但A是一个秩亏矩阵(Defective Matrix); 4. 虽然A看上去是上三角阵,不过你可以对A进行正交变换:Q * A * Q' = B,得到的方阵B也是秩亏矩阵,且对应1和2的右特征向量分别为q1 = Q*v1,q2 = Q*v2,q1和q2也是正交的。 综上所述,具有已知条件的矩阵不具备任何特殊性质。
线性代数:对应不同特征值的特征向量正交的矩阵满足什么条件?实对称阵还是什么?
线性代数:实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量是正交的.证明中有一步:
线性代数证明:实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量a1,a2必正交
(线性代数)实对称矩阵特征值不同的特征向量相互正交
实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的,那反之呢?
实对称矩阵不同特征值对应的特征向量除了正交外还有其他的关系吗?
是不是只有实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交的.
证明实对称矩阵不同特征值的特征向量必定正交
不同特征值对应的特征向量一定正交嘛?还是只对正交矩阵而言?
实对称矩阵重特征值所对应的特征向量正交之后,是不是原特征值所对应的特征向量
实对称矩阵相同特征值的特征向量相互正交吗?
实对称矩阵对应特征值的特征向量是正交的,那为何还要对其正交化?